|
|
Вершины, плоскость, проходящая через прямую и точку, пределы, производные, графики, интегралы, объем тела вращения, диф. уравнение, сходимость степенного ряда1. Содержание: № 1. 3 № 41. 4 № 51. 5 № 71. 6 № 81. 7 № 91. 7 №111. 11 №161. 12 № 171 14 № 181 14 Список использованной литературы 15 № 1. Даны вершины А(5;3), В(-11; - 9), С(-4;15). Требуется : а) уравнение стороны АС б) уравнение высоты, проведённой из вершины В в) длину высоты, проведённой из вершины А г) величина (в радианах) угла В д) уравнение биссектрисы угла В. Решение: а) Найдём уравнение прямой АС в виде уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. = , где x1 = 5, x2 = - 4, y1 = 3, y2 = 15 = <=> = б) Пусть ВН - высота в ? АВС, тогда (ВН) ? (АС), то есть направляющий вектор (ВН) перпендикулярен направляющему вектору (АС). Пусть - направляющий вектор прямой (ВН). Тогда ? (- 3; 4) => (4; 3) Запишем уравнение прямой (ВН): = . в) Пусть AF - высота в ? АВС. Длина AF - это расстояние от точки А до прямой ВС. Вычислим его по формуле: AF = d = , где Ax + By+ C = 0 - общее уравнение прямой ВС, x0 и y0 - координаты точки А. (ВС): = <=> 24x + 264 - 7y - 63 = 0 <=> 24x - 7y + 201 = 0 AF = = = = 12 г) cos ?B = ; (- 16; -12), (7; 24) ?B = arccos = arccos = arccos = ? - arccos д) Введём вектор (x; y) - направляющий вектор прямой, содержащей биссектрису угла В. Тогда углы между векторами и и между векторами и равны. То есть, cos ( = cos ( <=> = <=> = <=> = <=> = <=> = <=> 4x + 3y = . Пусть вектор (x; y) = , где X(x; y). (x +11; y + 9). Тогда уравнение биссектрисы угла В примет вид: 4 (x +11) + 3 (y + 9) = <=> 4x +44 + 3y + 27 = <=> 4x + 3y + 71 = <=> 20x + 15y + 355 = 7x + 24y + 293 <=> 13x - 9y + 62 = 0 № 41. Провести плоскость через прямую = = и проходящую через точку А (4; 6; - 3). Решение: Направляющий вектор исходной прямой имеет координаты (2; 1; 2) и данная прямая проходит через точку В(1; -2; 0). Вектор ( - 3; - 8; 3) || ?, где ? - искомая плоскость. Запишем уравнение плоскости ?, используя два неколлинеарных вектора, ей параллельных, и точку, через которую она проходит. Уравнение плоскости ? будет иметь вид: = 0 <=> (x - 4)( - 16 - 3) - (y - 6)( - 6 - 6) + (z + 3)( - 3 + 16) = 0; - 19(x - 4) +12 (y - 6) +13(z + 3) = 0 ; - 19x +12y + 13z + 76 - 72 + 39 = 0 ; - 19x +12y + 13z + 43 = 0. № 51. Найти указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) = = . б) = = = = 0,3 в) = = = = . г) = = = . д) x(ln (2x - 1) - ln (2x - 3)) = x?ln = ln x = ln -x = ln -x = ln -x = = ln -x + - = ln = = ln + ln = ln e + ln 1 = 1 № 71. Найти производные: а) y = + ; y = (9x + 4) + 12(x3 + 10) => y = - (9x + 4)?9 + 12? (x3 + 10) ?3x2 = - 3 (9x + 4) + 9x2 (x3 + 10) = - + . б) y = ; y = (ctg 3x) => y = (ctg 3x) ? = - в) y = ln y = ln = ? ? ? ch 6x ? (-1) = - = - cth 6x г) y = arccos. y = 9 = № 81. Найти и для функции, заданной параметрически: Решение: = => = = - cos 22t; => = = - cos 22t № 91. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций: а) y = 3 Решение: y(x) = y( - x). График симметричен относительно оси OY. Найдём нули функции. y = 0 => = 0; x1 = 0, x2,3 = ± График проходит через начало координат. Определим экстемумы функции y(x) = 3 (2x3 - 2x) = 6x(x2 - 1); y(x) = 0 => x1 = 0, x2,3 = ±1 y(x) > 0 при x принадлежащем промежутку ( - 1;0) U (1;+?) - функция возрастает. y(x) < 0 при x принадлежащем промежутку ( - ?; - 1) U (0;1) - функция убывает. y (x) = 18x2 - 6. При x = x1 = 0 y (x) = - 6 < 0. Значит, в точке x1 = 0 функция имеет максимум y = 0 (выпуклость кверху). При x2,3 = ±1 y (x) = 12 > 0. Значит, в точках x2,3 = ±1 функция имеет минимумы (выпуклость книзу). y (x) = 0 => 18x2 - 6 = 0; x = ±. Т.к. y (x) = 36x ? 0 при x = ±, то x = и x = - - точки перегиба функции. Выясним наличие асимптот у графика функции. = 3 = ?. Следовательно, асимптот график функции не имеет. Найдём координаты нескольких точек графика функции. y (±1) = - = ymin ; y = - ; y = - б) y = 1 + 1) Найдём нули функции. y = 0 => x2 + 4x + 1 = 0; = 4 - 1 = 3; x1,2 = - 2± 2) Определим экстремумы функции y(x) = - - = - ; y(x) = 0 => 4x + 2 = 0, x = - y(x) = + = . При x = - y (x) = 32 > 0. Значит, в точке x = - функция имеет минимум (выпуклость книзу). y (x) = 0 => 8x + 6 = 0; x = - y (x) = - - = - 24. При x = - y (x) ? 0. Значит, точка x = - является точкой перегиба. 3) Выясним наличие асимптот у графика функции. = 3 = 0. (y(x) - 0 ? x) = = 1. Следовательно, прямая y = 1 - горизонтальная асимптота графика функции. y(x) = ?. Значит, прямая x = 0 - вертикальная асимптота графика функции. y (-) = - 3 = ymin ; y(x) = 3 (2x3 - 2x) = 6x(x2 - 1); y(x) = 0 => x1 = 0, x2,3 = ±1 y(x) > 0 при x принадлежащем промежутку ( - ;0) - функция возрастает. y(x) < 0 при x принадлежащем промежутку ( - ?; - ) U (0; +?) - функция убывает. y (-) = - ; y(- 2) = ; y(2) = 3; y(4) = ; y(8) = ; y(16) = Графики к пунктам а) и б) приведены на рис. 1 и рис. 2 соответственно. Рис. 1 Рис. 2. №111. Найти неопределённые интегралы. Результат проверить дифференцированием. а) = = - = - · 2 = - + C Проверка. ( - + С) = - = б) dx = = ln (x2 - x + 1) +C Проверка. (ln (x2 - x + 1) +C) = в) dx = ln x - = ln x - dx = ln x - · = + C. Проверка. ( + C) = = ln x - + = ln x №131. Вычислить объём тела ращения, образованного вращением вокруг оси ординат фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной линиями: y =2 - x2; y = x; x = 0 Решение: Найдём точку пересечения кривых. 2 - x2 = x => x = 1, y = 1 (Первая четверть) Объём искомого тела равен разности объёмов цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью у = f(x,y), снизу плоскостью y = 0 и с боков поверхностью x2 + z2 = 1 и тела, образованного вращением вокруг оси ОУ треугольной области, ограниченной прямыми y = x, y = 0 и x = 1. Последний объём можно найти как разность объёмов цилиндра и конуса с общим основанием и одинаковой высотой. V1 = ?R2 - ?R2h = ?; R = h = 1 Найдём объём цилиндроида. Для этого установим вид поверхности у = f(x,y). Сечение её плоскостью, параллельной ХОZ - окружность, а плоскостью ХОY - парабола y = 2 - x2. Поэтому рассматриваемая поверхность имеет вид: 2 - y = x2 + z2. Тогда Vц = ?d?d? = ?d? = 2? = 2? = · 2? Искомый объём равен: V = Vц - V1 = ·? - ? = ? №161. Найти частное решение дифференциального уравнения y - 4y + 3y = e3x, y(0) = 3, y(0) = 9. Решение: k2 - 4k + 3 = 0 - характеристическое уравнение. k1 = 1, k2 = 3. yоо(x) = C1ex + C2e3x - общее решение однородного линейного дифференциального уравнения. yон(x) = yоо(x) + yчн(x). Найдём частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения. yчн(x) = Q(x)e3x. Т.к. 3 - корень характеристического уравнения, то многочлен Q(x) = ах + b (1 -ой степени, на 1 выше степени многочлена, стоящего перед e3x в правой части уравнения, т. е. 1, n = 0). Подставим yчн(x) = (ах + b) e3x в исходное дифференциальное уравнение: (a e3x + 3 a xe3x +3b e3x) - 4 a e3x - 12ax e3x - 12b e3x + 3 axe3x + 3b e3x = = 3a e3x + 3a e3x + 9 a xe3x + 9 be3x - 4 a e3x - 12ax e3x - 12b e3x + 3 a xe3x + +3be3x; 2a e3x + 0•b e3x + 0•a xe3x = e3x; 2a = 1 a = Итак, yчн(x) = xe3x. Тогда yон(x) = C1ex + C2e3x + xe3x. Найдём решение, удовлетворяющее начальным условиям: y(0) = 3 => C1 + C2 = 3. y(0) = 9 => C1e3x + 3C2e3x + xe3x + e3x = C1 + 3C2 + = 9 Решим систему: <=> <=> <=> Итак, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид: y(x) = ( ex + 11e3x) + xe3x. № 171 Найти область сходимости степенного ряда . Решение: . Радиус сходимости R = . = = = = ( )2 = 12 = 1; R = 1. №181 Вычислить определённый интеграл с точностью до 0, 001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно интегрируя этот ряд: Решение: dx = dx = dx; an = (- 1)n = (- 1)n = (- 1)n. | an| ? 0,001 => 0,1 ? (2n + 1)2 • 0,01 => n?1. Таким образом, достаточно вычислить a0 = = 0,1. a1 ? 0, 00011 < 0, 001. Список использованной литературы: Аналитическая геометрия. А.Н. Погорелов Изд. "Просвещение", 1993 Дифференциальное и интегральное исчисление. Я.С. Бугров, С. М. Никольский. Изд. "Наука" 1988 Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Б.П. Демидович Изд. "Наука" 1966 1 15 1 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|