|
|
Экономико-математические методы и моделированиеСОДЕРЖАНИЕ ЗАДАЧА №8 3 ЗАДАЧА №18 5 ЗАДАЧА №28 7 ЗАДАЧА №38 9 ЗАДАЧА №48 11 ЗАДАЧА №58 13 ЗАДАЧА №68 17 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 20 ЗАДАЧА №8 При векторе цен и доходе Q описать бюджетное множество и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств. Изобразить бюджетное множество и его границу графически. Найти также объём бюджетного множества. Данные Р и Q взять из таблицы. № р1 р2 р3 Q 8 1 9 4 140 Решение: Вектор цен = (1; 9; 4), набор товаров . Множество всех наборов товаров , которые потребитель может приобрести на имеющиеся у него деньги Q при данных ценах образует бюджетное множество (при этом все деньги тратить необязательно). Математически бюджетное множество можно описать двумя способами: с помощью векторных неравенств с помощью обычных неравенств Граница бюджетного множества представляет собой подмножество всех наборов товаров стоимостью Q. Описать её можно следующим образом: с помощью векторных равенств с помощью обычных равенств Для набора из трёх товаров бюджетное множество представляет собой трёхгранную пирамиду, одна вершина которой находится в начале координат, а другие точки , , , лежащие на осях х1, х2, х3. Вычисляем: . Таким образом вершины пирамиды бюджетного множества лежат в точках с координатами: А (0; 0; 0); В (140; 0; 0); С (0; ; 0); D (0; 0; 35). Границей бюджетного множества является основание этой пирамиды ВСD. Объём бюджетного множества . Для наглядного представления изобразим пирамиду бюджетного множества и его границу графически (рис. 1). Рис. 1. ЗАДАЧА № 18 Для потребителя с функцией полезности u = u(x1, x2)=найти в общем виде функцию спроса на оба товара при ценах и доходе Q. В ответе дать значения вектора спроса на оба товара при конкретных ценах и доходе Q. № Р0 Q0 u = u(x1, x2) 18 Р0 = (10,2) Q0 = 68 Решение: В точке спроса имеет место максимальное значение функции полезности : ; . Вектор предельных полезностей пропорционален вектору цен, то есть: или . Получаем: . Из первого уравнения выражаем х1: ; . Далее: ; ; Таким образом: ; . Если по условию = (10,2), Q = 68, то получаем: ; . ЗАДАЧА № 28 Для функции спроса из предыдущей задачи определить на сколько процентов изменится спрос на первый товар при увеличении цены второго товара на К% при компенсации дохода. К взять равным 8% (номер варианта). Решение: Функция спроса, полученная в результате решения предыдущей задачи, определяется покоординатно как: ; . Решим задачу для k = 8%. Из уравнения Слуцкого: . Далее: ЗАДАЧА № 38 Пусть имеется корпорация из четырёх акционеров, обладающих n1, n2, n3, n4 акциями соответственно. Любое решение может быть утверждено акционерами, имеющими простое большинство акций. Рассмотрите эту ситуацию как простую игру четырёх лиц и найдите вектор Шепли. Исходные данные задаются таблицей. № Число акций 1 акционер 2 акционер 3 акционер 4 акционер 38 20 10 40 30 Решение: Так как игра простая, координаты вектора Шепли вычисляются по формуле: , где суммирование производится по всем выигрышным коалициям, для которых Т/{i} не является выигрывающей, t - число членов коалиции, n - общее число участников. Рассмотрим случай, когда первый акционер имеет 10 акций, второй - 10, третий - 40 и четвёртый - 30. Выигрывающими коалициями будут следующие: {1, 3}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}. Найдём вектор ?1. Ищем выигрывающие коалиции, которые перестают быть выигрывающими при выходе из них первого игрока {1}: {1, 3} {1} = 40 < {1; 4} = 50; {1, 2, 4}{1} = 40 < {1; 3} = 60; {1, 2, 3}{1} = 50 = {1; 4} = 50; {1, 3, 4}{1} = 70 > {1; 2} = 30. Это коалиции {1, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3}. . Найдём вектор ?2. Выигрывающие коалиции - {1, 2, 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}. При выходе из них второго игрока перестаёт выигрывать только одна коалиция {1, 2, 4}. Имеем: . Найдём вектор ?3. Выигрывающие коалиции с третьим акционером - {1, 3}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}. Прекращают быть выигрывающими следующие коалиции - {1, 3}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}. Получаем: . Найдём вектор ?4. С четвёртым акционером выигрывают коалиции {3, 4}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, однако только {3, 4}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4} перестают быть выигрывающими при выходе четвёртого игрока. Отсюда: . Таким образом, вектор Шепли равен . ЗАДАЧА № 48 Зависимость цены от объёма выпуска продукции R(Y), а также зависимость издержек I(Y) от объёма выпуска продукции известны и приведены в таблице. Найти оптимальный объём выпуска продукции Yопт, если в качестве критерия принять максимальную прибыль фирмы. Определить величину прибыли, которую получит фирма при оптимальном бюджете выпуска. Построить кривую зависимости поступления в бюджет от ставки налога (кривую Лаффера). № R(Y) I(Y) 48 R(Y) = 75 - Y I(Y) = 15Y2 - 10Y - 2 Решение: Пусть и . Величина прибыли определяется по формуле: Имеем ; , ; . Следовательно, - оптимальный объём выпуска. Соответствующая прибыль равна: . Пусть t - налоговая ставка на единицу выпуска. Тогда прибыль определяется по формуле: ; ; . Следовательно: . Поступления в бюджет определяются по формуле: ; ; , , , , . Наглядно кривая функции зависимости поступлений в бюджет от налоговой ставки на единицу выпуска представлена на рис. 2. Рис. 2. ЗАДАЧА № 58 Имеются две конкурирующие фирмы на рынке одного товара. Функции затрат фирм от выпуска определяются формулами D1(x1) = ?2 x1 ; D2(x2) = ?2 x2 а цена является линейной функцией p(x) = a - bx, где x = x1 + x2 . Найти точку Курно и Стакельберга. Вычислить значение прибылей фирм и цену в этих точках. Найти оптимальное значение выпуска, прибыль и цену в случае объединения фирм. Исходные данные в таблице. № ?1 ?2 а b 58 1 1,5 5 0,075 Решение: Пусть ?1 = 1, ?2 = 1,5, а = 5, в = 0,075. Прибыли фирм будут равны соответственно: где , где ; i= 1,2 . Если первой фирме известна стратегия второй, а второй стратегия первой, то оптимальными будут решения уравнений: ; ; ; ; ; ; ; . Если фирмы в каждый период времени выбирают свои стратегии, зная выбор конкурента, то решением задачи максимизации прибыли будет точка Курно, координаты которой можно вычислить аналитически: ; ; , таким образом координаты точки Курно ; . Вычисляем: ; . ; . ; . Значение прибыли: ; . Цена на продукцию: . Если первая фирма даёт возможность второй знать свой выбор, то выбор второй фирмы всегда будет . Первая фирма будет действовать исходя из этого выбора конкурента, то есть будет максимизировать: . Получаем: ; . , Р1? . Отсюда имеем следующую точку Стакельберга: ; . Значения прибыли: ; . Цена продукции: . В случае объединения фирм общая прибыль равна: . Для стационарной точки получаем систему уравнений: ; . Следовательно, должны выполняться равенства d1 = d2 или ?1 = ?2 (что то же самое). В нашем случае эти условия не выполняются. Если первая фирма увеличит затраты, увеличив коэффициент ?1 до 1,5, тогда ?1 = ?2, d = d1 = d2 = . В этом случае максимум прибыли после объединения достигается при выпуске: . При этом прибыль и цена равны: ; . Полученное значение прибыли меньше, чем прибыль в точке Курно. Если вторая фирма сможет уменьшить затраты, уменьшив коэффициент ?2 до 1, тогда будет d = d1 = d2 = . В этом случае прибыль и цена равны соответственно: ; . ЗАДАЧА № 68 Страховая компания заключила n договоров краткосрочного страхования жизни (сроком на один год) на следующих условиях: если застрахованный умрёт от несчастного случая, то компания выплачивает наследникам 100000 руб.; если застрахованный умрёт естественной смертью, то компания выплачивает наследникам 30000 руб.; если застрахованный не умрёт, то компания ничего не выплачивает. Статистические данные позволяют считать, что вероятность смерти от несчастного случая Р, а вероятность смерти от естественных причин зависит от возраста, и группу застрахованных можно разбить на три возрастные подгруппы численностью n1, n2, и n3 и вероятностью смерти в течении года р1, р2 и р3 соответственно. Найти значение премии, при которой компания может обеспечить страховые выплаты с вероятностью 0,95. Рассмотреть два случая распределения страховой надбавки: пропорционально нетто-премиям и пропорционально дисперсиям. Принять р1 = 0,006; р2 =0,004; р3 = 0,002 . Исходные данные в таблице. № n n1 n2 n3 Р 68 30000 10000 12000 8000 0,0008 Решение: Рассмотрим случай, когда компания заключила n = 30000 договоров с n1 = 10000, n2 = 12000 и n3 = 8000. Для удобства вычислений принимаем 30000 руб. за денежную единицу. В первой подгруппе индивидуальный убыток является случайной величиной, принимающей значение 0,1 и с вероятностями 0,9932, 0,006 и 0,0008 соответственно. Во второй подгруппе индивидуальный убыток может принимать значение 0,1 и с вероятностями 0,9952, 0,004 и 0,0008. В третьей подгруппе тем же значениям 0,1 и соответствуют вероятности 0,9972, 0,002 и 0,0008. Найдём математические ожидания и дисперсии индивидуальных убытков для каждой подгруппы: ; ; ; ; ; . Математическое ожидание и дисперсия суммарного убытка равны: ; . Для того, чтобы компания могла обеспечить страховые выплаты (не разориться) с вероятностью 0,95, её резервный фонд должен быть равен: , где l - страховая надбавка. , где х0,95 - квантиль порядка 0,95 стандартного нормального распределения. По таблицам находим х0,95 = 1,645. Следовательно: . Рассмотрим два принципа распределения страховой надбавки. Если l делится пропорционально нетто-премиям, то премия для застрахованных из первой подгруппы равна: . В исходных денежных единицах (рублях) эта премия равна: руб. Аналогично: ; руб. ; руб. Если l делится пропорционально дисперсиям, то премия для застрахованных из первой подгруппы равна: r1? ; R1?r1? руб. Аналогично для второй и третьей подгрупп находим: r2? ; R2?r2? руб. r3? ; R3?r3? руб. ЛИТЕРАТУРА Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. - М: МГУ, 1980. Колемаев В.А. Математическая экономика. М: ГАУ, 1996. Капитоненко В.В. Финансовая математика и её приложения. - М: ПРИОР, 1998 Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. - М: МГУ, 1996 Экланд И. Элементы математической экономики. - Мир. 1983. 2 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|