|
|
Математическое моделирование экономических задачСодержание Задача №1 3 Задача №2 6 Задача №3 9 Задача №4 12 Список литературы 15 Задача №1 Фирмой выпускается продукт А и продукт В. Нормы затрат основных видов ресурсов приведены в таблице1. Таблица 1 Продукт А Продукт В Всего Сырье, кг 6 4 174 Оборудование, ст?час 4 3 123 Трудоресурсы, чел?час 3 10 265 Цена реализации, у.е. 48 33 Построить математическую модель заданной ситуации и рассчитать ее. Найти оптимальную программу выпуска продукции, определить максимальную прибыль. Фирма может приобрести дополнительное сырье, по какой цене выгодна его покупка? Фирма может арендовать дополнительное оборудование, на каких условиях выгодна ей такая аренда? Фирма может привлечь дополнительные трудоресурсы, на каких условиях это ей выгодно? Фирма может модернизировать технологию выпуска продукта А, что приведет к увеличению затрат на оборудование на 2% и увеличению нормы использования трудоресурсов на 5%. Выгодна ли фирме такая модернизация? Как изменится доход фирмы, если максимальный объем используемого сырья увеличится на 2%. Решение Пусть x - количество выпускаемого фирмой продукта А, а у - продукта В. Тогда, в соответствии с нормами затрат всех видов ресурсов, задача оптимизации программы выпуска продукции будет иметь вид: 6х+4у?174 4х+3у??????????????3х+10у??????????????48х+33у?max. x?0; y?0. Решим задачу геометрическим методом (рис.1). Построим графики прямых 6х+4у=174;4х+3у=123;3х=10у=265. Найдем узловые точки, решив соответствующие системы из двух уравнений. 6х+4у=174 ?????- 0,5у=-10,5 ??????????????у=21???? 4х+3у=123 х=174-4у х=15 6 4х+3у=123 ?????????????х = 123-3у ??????????????х?14,03 3х+10у=265 4 у?22,29 31 у = 265-92,25 4 6х+4у=174 ?????????????х=174-4у ????????х?14,7 3х+10у=265 6 у?22,25 8у=178 Рассмотрим семейство параллельный прямых l/33 - (48/33) x c угловым коэффициентом k=-48/33. Из графика видно, что у прямой, проходящей через точку (15;21), коэффициент l/33 будет максимальным, т.е. f(x,y)=48x+33y=l=fmax=1413 у.е. Рис.1. Оптимальному количеству выпускаемой продукции соответствуют следующие объемы использованных ресурсов: сырья - 174 кг (max объем); оборудования - 123 ст/час (max объем); трудоресурсов - 255 чел?час. а) Чтобы ответить на вопрос о целесообразности покупки дополнительного сырья, рассмотрим систему (р - дополнительный объем сырья). 6х+4у=174+р ?????????6х=174+р-4у ? у=21-р 4х+3у=123 -0,5у=-10,5+р х=15+1,5р Подставим х(р); у(р) в выражение целевой функции: f(x,y)=48(15+1,5p)+33(21-2p)=1413+72p-66p=fmaxо+6p(у.е.) Таким образом, если цена р кг дополнительного сырья не превышает 6р у.е., т.е. 1кг не дороже 6 у.е., то использование этого сырья является выгодным. б) Аналогично рассмотрим систему (m - дополнительный объем ресурсов оборудования): 6х+4у=174 ? х=123+m-63-9m ? x=15-2m 4х+3у=123+m 4 y=21+3m -0,5y=-10,5-1,5m f(x,y)=48(15-2m)+33(21+3m)=1413-96m+99m=fmax+3m Следовательно, оборудование выгодно арендовать по цене, не превышающей 3 у.е. за 1ст?час. Следует отметить, что если в результате роста ресурсов оборудования соответствующая прямая пройдет через точку пересечения двух других прямых (14,17;22,25), то эта точка станет, как видно из графика, оптимальной и дальнейший подъем прямой, т.е. рост ресурсов оборудования не изменит точки максимума целевой функции. Так что рост ресурсов оборудования выше 4?14,17+10?22,25?279,18 не имеет никакого смысла. в) Как показано выше, положение прямой "трудоресурсы" не оказывает влияния на оптимальную точку, значит, увеличение объемов трудоресурсов не приведет к росту целевой функции. Т.е. это увеличение в любом случае требует дополнительных затрат, оно не является выгодным. Рассмотрим систему 6х+4у=174 ????????у=174=6х ??????????х?17,86 4,08х+3у=123 4 у?16,72 4,08х + 3 174-6х =123 4 Поскольку соотношение между угловыми коэффициентами рассматриваемых прямых не изменилось (3/10< 4/3f(x,y)??17,86?49+16,72?33?1426 у.е.>1413 у.е. Т.к. значение целевой функции увеличилось, модернизация является выгодной. Как уже показано в п.4 а), рост прибыли в результате увеличения объема сырья на р численно равен 6р. Если р=0,02?174=3,48, то ?f(x,y)=6?3,48=20,88 у.е. Задача №2 Фирма имеет два филиала, каждый из которых осуществляет выпуск продукции двух видов. Продукция фирмы пользуется гарантированным спросом вследствие чего она заинтересована в максимальном увеличении объемов производства. Перед фирмой стоит задача оптимального распределения имеющегося сырья в объеме 124 кг между двумя филиалами. При этом нормы затрат сырья и оборудования по обоим филиалам приведены в таблицах 2 и 3. Таблица 2 Филиал 1 Продукт 1 Продукт 2 Всего Сырье, кг 6 2 R1 Оборудование, ст?час 5 2 97 Прибыль от реализации, тыс. руб. 46 16 Таблица 3 Филиал 2 Продукт 1 Продукт 2 Всего Сырье, кг 2 1 R2 Оборудование, ст?час 4 3 24 Прибыль от реализации, тыс. руб. 24 14 Определить количество сырья, которое необходимо выделить первому и второму филиалу, что бы суммарная прибыль предприятия была максимальной. Найти оптимальную программу выпуска продукции для первого и второго филиала. Определить максимальную прибыль предприятия. Решение Пусть филиал №1 производит х1 ед. первого продукта и х2 ед. второго продукта, а филиал №2 х3 ед. первого продукта и х4 ед. второго продукта. При этом выделенный филиалу №2 объем сырья равен х5 кг, а филиалу №2, соответственно, (124-х5) кг. Тогда, с учетом, норм затрат, можно записать: 6х1+2х2?х5 для филиала №1; 2х3+х4?124-х5 для филиала №2 5х1+2х2??????????????????????????????????????????????????? 4х3+3х4?24 Общая цена реализации: F=46x1+16x2+24x3+14x4 Таким образом, задача о распределении сырья сводится к задаче линейного программирования о нахождении оптимального решения следующей системы: 6х1+2х2-х5?0 5х1+2х2?97 2х3+х4+х5?124 4х3+3х4?24 хj?0 F=46x1+16x2+24x3+14x4??max Решим эту задачу симплексным методом. 6х1+2х2-х5+х6=0 5х1+2х2+х7=97 (1) 2х3+х4+х5+х8=124 4х3+3х4+х9=24 Найдем любое базисное решение. Для этого положим х1=х2=х3=х4=х5=0. Тогда х6=0, х7=97, х8=124, х9=24. Значит, (0;0;0;0;0;0;97;124;24) - исходное базисное решение. Оно является допустимым. Переходим к поискам оптимального решения. шаг. Основные переменные: х6, x7, x8, x9; неосновные: х1, х2, х3, х4, х5. Перепишем систему в виде: х6=-6х1-2х2+х5 х7+97-5х1-2х2 (2) х8=124-2х3-х4-х5 х9=24-4х3-3х4 Т.к. коэффициент при х1 в выражении для F наибольший, приведем х1 в число основных переменных первой. При этом одну из основных переменных необходимо перевести в неосновные. В данном случае это х6, т.к. отношение свободного члена к модулю коэффициента при х1 в уравнении для х6 минимально (равно 0). шаг. Основные переменные: х1, х7, х8, х9; неосновные: х2, х3, х4, х5, х6. Выразим основные переменные этого шага и функцию F через неосновные. Из уравнения для х6 выражаем х1: х1=-1/6x6-1/3x2+1/6x5=-1/3x2+1/6x5-1/6x6 . Подставим это выражение в остальные уравнения системы (2) и в функцию F. Получим: x7=97+5/3x2-5/6x5+5/6x6-2x2=97-1/3x2-5/6x5+5/6x6 x8=124-2x3-x4-x5 x9=24-4x3-3x4 F=-46/3x2+46/6x5-46/6x6+16x2+24x3+14x4=2/3x2+24x3+14x4+23/3x5-23/3x6 x1=-1/3x2+1/6x5-1/6x6 x7=97-1/3x2-5/6x5+5/6x6 (3) x8=124-2x3-x4-x5 x9=24-4x3-3x4 F=2/3x2+24x3+14x4+23/3x5-23/3x6 шаг. Основные переменные: х1, х3, х7, х8; неосновные: х2, х4, х5, х6, х9. Х3=6-3/4x4-1/4x9 X1=-1/3x2+1/6x5-1/6x6 (4) X7=97-1/3x2-5/6x5+5/6x6 X8=112+1/2x4-x5+1/2x9 F=2/3x2+144-18x4-6x9+14x4+23/3x5-23/3x6=144+2/3x2-4x4+23/3x5-23/3x6-6x9 Переводим переменную х5 в основные, а х8 - в неосновные ((97?6)/5=582/5>112, поэтому х5 выражаем из уравнения для х8) шаг. Основные переменные: х1, х3, х5, х7; неосновные: х2, х4, х6, х8, х9. x5=112+1/2x4-x8+1/2x9 x1=56/3-1/3x2+1/12x4-1/6x6-1/6x8+1/12x9 (5) x3=6-3/4x4-1/4x9 x7=11/3-1/3x2-5/12x4+5/6x6+5/6x8-5/12x9 F=144+2/3x2-4x4+23/3?(112+1/2x4-x8+1/2x9)-23/3x6-6x9=3008/3-13/6x9+2/3x2-1/6x4-23/3x6-23/3x8=3008/3+2/3x2-1/6x4-23/3x6-23/3x8-13/6x9 Переводим х2 в основные переменные, а х7 - в неосновные. шаг. Основные переменные: х1, х2, х3, х5; неосновные: х4, х6, х7, х8, х9 х2=11-5/4x4+5/2x6-3x7+5/2x8-5/4x9 x1=15=1/2x4-x6+x7-x8=1/2x9 x3=6-3/4x4-1/4x9 (6) x5=112+1/2x4-x8=1/2x9 F=(3008/3+22/3)-5/6x4+5/3x6+5/3x8-2x7-5/6x9-1/6x4-23/3x6-23/3x8-13/6x9=1010-x4-6x6-2x7-6x8-3x9 Итак, в выражении для F не осталось неосновных переменных с положительными коэффициентами, что свидетельствует о том, что полученное решение (15;11;6;0;112;0;0;0;0) является оптимальным (х4=х6=х7=х8=х9=0 как неосновные переменные, а основные определяются из уравнений системы (6)). Максимальное значение F=1010 тыс. руб. Вывод: оптимальным является следующее распределение сырья между филиалами: 112 кг должен использовать филиал №1, 12 кг - филиал №2. Филиал №1 должен производить 15 ед. продукта №1 и 11 ед. - продукта №2; филиал №2 должен производить продукт №3 в количестве 6 ед., а продукт №4 вообще производить невыгодно. При соблюдении всех этих условий доход фирмы будет макимальным и составит 1010 тыс. руб. Задача №3 Лизинговой компании необходимо сделать выбор объектов предполагаемых лизинговых сделок с определением оптимальных объемов финансирования на приобретение этих объектов в размерах кратных 100 млн. руб. Для инвестирования на эти цели компания располагает капиталом в объеме 700 млн. руб. В таблице 4 приводится среднегодовая прибыль компаний, ожидаемая от лизингополучателей при предоставлении им того или иного объекта на сумму от 0 до 700 млн. руб. Таблица 4 Объем финансирования, млн. руб. Среднегодовая прибыль при предоставлении объектов, млн. руб. 1 2 3 0 0 0 0 100 31 62 55 200 60 120 104 300 87 174 147 400 112 224 184 500 135 270 215 600 156 312 240 700 175 350 269 Под оптимальным объемом финансирования на приобретение объектов лизинга администрация компании понимает такое распределение суммы в 700 млн. руб. при котором среднегодовая прибыль от лизингополучателей всех этих объектов оказывается максимальной. Требуется: Построить математическую модель разделения на оптимальный объем инвестиций по рассматриваемым объектам лизинга. Рассчитать объемы инвестиций по объектам лизинга, при которых ожидается максимальная по сумме прибыль компании. Определить стратегию компании в случае появления нового объекта, на который в последнее время резко активизировался спрос, если при предоставлении этого объекта по лизинговым соглашениям ожидаются следующие значения среднегодовой прибыли: при вложении 100 млн. руб. - 72 млн. руб., 200 млн. руб. - 136 млн. руб., 300 млн. руб. - 192 млн. руб., 400 млн. руб. - 240 млн. руб., 500 млн. руб. - 280 млн. руб., 600 млн. руб. - 312 млн. руб., 700 млн. руб. - 336 млн. руб. Решение Задача о разделении капитала на оптимальные объемы инвестиций по рассматриваемым объектам лизинга сводится к выбору из трех упорядоченных групп элементов (чисел) не более трех (не более одного из группы) так, чтобы их сумма была максимальной, а сумма индексов (порядковых номеров элементов внутри групп) не превышала величины максимального индекса. Под элементами в данном случае понимаются размеры прибыли, ожидаемой от лизингополучателей по каждому из объектов, а индекс соответствует величине вложенного в объект капитала (0-0;1- 100;2-200 и т.д.) Предлагаемая ниже компьютерная программа позволяет решить поставленную задачу. Полученные индексы выбранных элементов указывают на соответствующий размер вложенного капитала. Если в составленной программе варьировать максимальный номер индекса (от 7 до 1), можно получить данные об оптимальном разделении по трем объектам сумм от 700 до 100 млн. руб. Складывая полученные числа с размером прибыли от вложения в четвертый объект, соответственно, от 0 до 700 млн. руб. и сравнивая полученные суммы между собой, можно сделать вывод о целесообразности использования для вложения капитала нового, четвертого объекта и получить данные об оптимальном распределении капитала между четырьмя объектами, а также узнать максимально возможную при этом величину прибыли. Program optimum; uses Crt; var x, y, z: array [1..7] of integer; i, j, k, im, jm, km, max, n: integer; begin clr scr; write (Введите n: n=, n); for i:=1 to n do begin write(Введите x [,i,]=); readln(x[i]); write(Введите y [,i,]=); readln(y[i]); write(Введите z [,i,]=); readln(z[i]); end; max:=x[1]+y[1]=z[1]; im:=1; jm:=1; km:=1; for i:=1 to n do for j:=1 to n do for k:=1 to n do if i+j=k begin im:=i; jm:=j; km:=k; max:=x[i]+y[j]+z[k]; write(Максимальный лизинговый доход,max,номера строк,im,jm,km); end; end. Результаты анализа приведены в таблице 5. Таблица 5 Сумма, выделяемая на финансирование трех первых объектов, млн. руб. Максимальная прибыль, возможная при использовании трех объектов, млн. руб. Разделение капитала по объектам, млн. руб. Прибыль от четвертого объекта Максимальная прибыль при использовании 4-х объектов 1й 2й 3й 700 374 0 500 200 0 374 600 328 0 400 200 72 400 500 279 0 400 100 136 415 400 229 0 300 100 192 421 300 175 0 200 100 240 415 200 120 0 200 0 280 400 100 62 0 100 0 312 374 0 0 0 0 0 336 336 Итак, используя три объекта, можно получить максимальную прибыль в размере 374 млн. руб., если вложить 500 млн. руб. во второй и 200 млн. руб. - в третий объект. Использование четвертого объекта целесообразно. Максимума прибыли можно достичь, если вложить в него 300 млн. руб., а 400 млн. руб. разделить следующим образом: 300 млн. руб. - на второй объект и 100 млн. руб. - на третий. Заметим, что вложение капитала в первый объект вообще не является выгодным. Задача №4 Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность, а также стоимость при нормальном и ускоренном режиме приведены в таблице 6. Таблица 6 Работы На что опирается Нормальные сроки выполнения работ Срок выполнения работ при ускоренном графике Стоимость выполнения работ при нормальном графике, млн. руб. Стоимость выполнения работ при ускоренном графике, млн. руб. А Е,H 18 14 21 27 В G 18 28 21 27 С - 36 7 42 54 D F,C,Q 9 21 10,5 13,5 E - 30 28 31,5 45 F E,H 9 7 10,5 13,5 G V 9 7 10,5 13,5 H G 9 7 10,5 13,5 Q V 32 21 31,5 48 V - 9 7 10,5 13,5 С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический срок, указать все критические пути, определить стоимость всего комплекса работ. Указать стратегию минимального удорожания стоимости работ при сокращении сроков строительства на 4 дня. В какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренное строительство павильона. Решение Упорядоченный сетевой график работ приведен на рис. 2. а) на графике можно выделить 7 полных путей: L1: E?F?D ???3?4?5), L2: E?A (0?3?5) L3: V?G?H?A (0?1?2?3?5) L4: V?G?H?F?D (0?1?2?3?4?5) L5: V?G?B (0?1?2?5? L6: V?Q?D (0?1?4?5) L7: C?D (0?4?5) Подсчитаем длину этих путей. t(L1)=30+9+9=48 дней; t(L2)=30=18=48 дней; t(L3)=9+9+9+18=45дней; t(L4)=9+9+9+9+9=45 дней; t(L5)=9+9=18 дней; t(L6)=9+32+9=50 дней; t(L7)=36+9=45 дней. max t(Li)=t(L6)=50 дней. Следовательно, путь L6: 0??1??4??5 является критическим. События 1; 4; 5 и работы V, Q, D, лежащие на этом пути, также являются критическими. Рис.2. б) Рассчитаем временные характеристики событий. Ранний срок свершения i - го события определяется по формуле: tp(i)=max t(Lni), где Lni - любой путь от исходно события до i - го. Поздний срок (или предельный) определяется по формуле: tn(i)=tкр-max t(Lni), где tкр - длина критического пути, Lni - любой путь от i-го события до завершающего. Резерв времени R(i) i-го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения. tp(1)=max{9}=9; tn(1)=50-max{27;36;41}=50-41=9; R(1)=9-9=0 дней; tp(2)=max{18}=18; tn(2)=50-max{27;18}=50-27=23; R(2)=23-18=5 дней; tp(3)=max{30;27}=30; tn(3)=50-max{18;18}=50-18=32; R(3)=32-30=2 дня; tp(4)=max{39;36;41}=41; tn(4)=50-max{9}=50-9=41; R(4)=41-41=0 дней; tp(5)=tкр=50; tn(5)=50-0=50; R(5)=50-50=0 дней. События 0; 1; 4; 5, лежащие на критическом пути, резерва времени не имеют. в) Рассмотрим временные параметры работ. Ранние сроки начала работ совпадают с ранними сроками наступления предшествующих им событий, поэтому: tрн(A)=30 дней; tрн(B)=18 дней; tрн(Q)=9 дней; tрн(D)=41 день; tрн(H)=18 дней; tрн(E)=tрн(V)=tрн(C)=0 дней; tрн(G)=tрн(Q)=9 дней; tрн(F)=30 дней. Ранний срок определяется по формуле: tрн(i;j)=tр(i). Ранний срок окончания работы определяется по формуле: tро(i;j)=tрн(i;j)+t(i;j) Поэтому: tро(A)=30+18=48 дней; tро(B)=18+18=36 дней; tро(C)=0+36=36 дня; tро(D)=41+9=50 дней; tро(E)=0+30=30 дней; tро(F)=30+9=39 дней; tро(G)=9+9=18 дней; tро(H)=18+9=27 дней; tро(Q)=9+32=41 день; tро(V)=0+9=9 дней. Поздний срок окончания работы определяется соотношением: tпо(i;j0=tп(j) Поэтому: tпо(A)=41день; tпо(B)=50 дней; tпо(C)=41 день; tпо(D)=50 дней; tпо(E)=32 дня; tпо(F)=41 день; tпо(G)=23 дня; tпо(H)=32 дня; tпо(Q)=41 день; tпо(V)=9 дней. Поздний срок начала работы равен: tпн(i;j)=tп(j)-t(i;j) Поэтому: tпн(A)=50-18=32 дня; tпн(B)=50-18=32 дня; tпн(C)=41-36=5 дней; tпн(D)=50-9=41 день; tпн(E)=32-30=2 дня; tпн(F)=41-9=32 дня; tпн(G)=23-9=14 дней; tпн(H)=32-9=23 дня; tпн(Q)=41-32=9 дней; tпн(V)=9-9=0 дней. Полный резерв времени работы (i;j) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Rп(i;j)=tп(j)-tр(i)-t(i;j)=tпн(i;j)-tрн(i;j) Rп(A)=32-30=2 дня; Rп(B)=32-18=14 дней; Rп(C)=5-0=5 дней; Rп(D)=41-41=0 дней; Rп(E)=2-0=2 дня; Rп(F)=32-30=2 дня; Rп(G)=14-9=5 дней; Rп(H)=23-18=5 дней; Rп(Q)=9-9=0 дней; Rп(V)=0-0=0 дней. Критические работы V, Q, D резерва времени не имеют. г) Стоимость всего комплекса работ равна сумме стоимостей каждой из работ. Т.е. S=21+21+42+10,5+31,5+10,5+10,5+10,5+31,5+10,5=199,5 млн. руб. Чтобы сократить сроки строительства на 4 дня, имеет смысл сокращать продолжительность только критических работ V, Q, или D. При сокращении сроков работ V и D на 2 дня каждой их стоимость увеличится на 3 млн. руб. Общее удорожание: 3?2=6 млн. руб. Значит, ускоренная стройка будет стоить: S=199,5+6=205,5 млн. руб. Список литературы Бахтин А. Е. Математическое моделирование в экономике. - Новосибирск, НГАЭИУ, 1996. Бахтин А. Е. Математическое програмирование в экономике. Методические указания к выполнению контрольных работ. - Новосибирск, НИНХ, 1990. 14 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|