|
|
МногогранникиПЛАН Введение Теоремы и их доказательства. Решение задач. Правильные многогранники. Литература Введение Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путем свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. При решении стереометрических задач высоки требования к качеству чертежа, его наглядности. Нельзя научиться решать сколько-нибудь содержательные стереометрические задачи, не освоив принципы и технику построения пространственного чертежа. Сюда входит: выбор оптимального положения изображаемого тела (в частности, выбор ориентации - верх и низ, право и лево), выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображенных линяй (напомним, что видимые и невидимые линии должны изображаться различным образом), умение строить сечения и проекции на плоскость, умение выделить на пространственном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение перевести условие задачи на графический язык. Пространственные тела можно разделить на две группы: удобные для пространственного изображения и неудобные. К первой группе мы отнесем следующие многогранники: параллелепипед (и прежде всего прямоугольный), треугольную призму, треугольную пирамиду (или тетраэдр) и четырехугольную пирамиду. Все остальные - неудобные. Конечно, такое разделение носит условный характер. В частности, цилиндр и конус достаточно хорошо и наглядно "смотрятся" на проекционном чертеже. Тем не менее практика показывает, что в большинстве задач, в условии которых не фигурируют "удобные" многогранники, можно или вычленить в рассматриваемом теле один из вышеперечисленных "удобных" многогранников, или каким-то способом "привязать" заданную конфигурацию к одному из них. В данном реферате мы рассмотрим некоторые виды стереометрических задач и методы их решения. При этом в разделах, относящихся к методам решения, большей частью мы ограничиваемся объявлением метода и одной-двумя задачами, иллюстрирующими "работу" этого метода. Основным средством решения является аналитический метод. В нем можно выделить две разновидности: метод поэтапного решения и составление уравнений. Аналитический метод имеет различные формы реализации: выделение стандартных фигур и конфигураций (прямоугольный треугольник, правильная треугольная пирамида, треугольник и в нем биссектриса, окружность и две хорды и т. д.) и применение к ним соответствующих теорем и формул, метод координат, векторный метод и др. К этому основному магистральному пути добавляются различные геометрические методы и приемы. Важнейшую роль играют опорные задачи, набор которых представляет собой своеобразный арсенал используемого оружия: теорем, формул, стандартных ситуаций, стандартных схем реализации того или иного метода. Перечислим основные элементы многогранников. Линейные: сторона основания, боковое ребро, апофема боковой грани (для пирамид), радиусы окружностей, вписанных или описанных по отношению к основанию, радиус описанного около многогранника шара, радиус вписанного шара (для призм этот шар не всегда существует) и т. д. Площади: основания (или оснований), боковой поверхности, полной поверхности. Объем многогранника. Угловые: линейные углы при вершине, двугранные при основании или между боковыми гранями. Правильная призма или пирамида задается величинами двух независимых элементов. Таким образом, возникает достаточно обширная серия простейших задач: по двум данным найти третью. В данном реферате приводится доказательство теорем, решение задач по теме "Многогранники". 1. Теоремы и их доказательства. Теорема I. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра. Дано: прямая n-угольная призма Доказать: Sбок=p? h. Доказательство Прямой называется призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, т. е. боковые грани прямой призмы будут являться прямоугольниками. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней призмы Sбок=S1+ S2+ S3+...+ Sn. Площадь боковой грани определяется как площадь прямоугольника и равна произведению длины основания на высоту. Основания этих прямоугольников будут составлять многоугольник, являющийся основанием призмы, а высоты являются боковыми ребрами призмы. Отсюда: Sбок=a1?h+ a2?h + a3?h + ...+an?h=( a1+ a2 +a3 +...+aп)?h. Cумма ( a1+ a2 +a3 +...+aп) равна периметру многоугольника р, являющегося основанием пирамиды, поэтому: Sбок=р? h. Теорема доказана. Теорема II. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Дано: Параллелепипед АBCDA1B1C1D1 Доказать: АBCD=A1B1C1D1; АBCD||A1B1C1D1 АBB1 A1=CD D1C1; АBB1 A1||CD D1C1 АDD1 A1=CBB1C1; АDD1 A1||CBB1C1 Доказательство Известно, что все грани параллелепипеда параллелограммы. Рассмотрим две противолежащие грани параллелепипеда АBCD и A1B1C1D1. В них АВ||A1B1, a BC||B1C1, так как АBB1 A1 и CBB1C1 - параллелограммы. Из признака параллельности плоскостей следует, что плоскость АBCD параллельна плоскости A1B1C1D1, т. е. грани АBCD||A1B1C1D1. Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, мы можем утверждать, что AA1||BB1||CC1||DD1 и AA1=BB1=CC1=DD1, т. е. грань АBCD совмещается параллельным переносом с гранью A1B1C1D1 (точки А, B, C и D смещаются по параллельным прямым AA1, BB1, CC1 и DD1 на одно и то же расстояние, равное AA1). Согласно свойствам параллельного переноса грани АBCD и A1B1C1D1 будут равны. Параллельность и равенство граней АBB1 A1 и CD D1C1; АDD1 A1 и CBB1C1 доказывается аналогично. Теорема доказана. Теорема III. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Дано: Параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать: AC1?BD1=O; AO=OC1; BO=OD1. A1C?B1D=O; A1O=OC; B1O=OD. Доказательство Рассмотрим диагонали параллелепипеда АС1 и ВD1. Так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, можно утверждать, что AB||A1B1 и C1D1||A1B1. Отсюда, согласно теореме о параллельности плоскостей AB||С1D1, и соответственно эти две прямые лежат в одной плоскости. Данная плоскость пересекает грани AA1D1D и BCC1B1 по прямым ВС1 и АD1. Согласно свойствам параллельных плоскостей эти прямые будут параллельны. Таким образом мы получили, что AB||С1D1, ВС1||АD1 и точки A, B, С1, D1 лежат в одной плоскости, следовательно ABС1D1 - параллелограмм. Диагонали этого параллелограмма АС1 и ВD1, согласно свойствам параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Итак, мы получили, что AC1?BD1=O; AO=OC1; BO=OD1. Для диагоналей А1С, В1D доказательство проводится аналогично. Теорема доказана. Теорема IV. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений. Дано: Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать: Доказательство Рассмотрим ?BDD1. Данный треугольник будет прямоугольным, так как у прямоугольного параллелепипеда ребра перпендикулярны плоскости основания, т. е. ?BDD1=90?. По теореме Пифагора: BD можно определить из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора: Отсюда: Грани AB, AD и DD1 не параллельны, т. е. являются линейными размерами параллелепипеда. Для остальных диагоналей параллелепипеда доказательство проводится аналогично. Теорема доказана. Теорема V. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду. Дано: Пирамида РАВС. ? ? РАВС=A1B1C1; ?||АВС Доказать: РАВС?Р A1B1C1. Доказательство Преобразуем пирамиду РАВС гомотетией относительно точки Р с коэффициентом . При данном преобразовании плоскость основания АВС перейдет в параллельную плоскость, проходящую через точку А1. Согласно теореме о существовании плоскости, параллельной данной, эта плоскость совпадет с секущей плоскостью ?. Следовательно, пирамида РАВС переходит в отсекаемую плоскостью ? пирамиду РA1B1C1. А так как гомотетия есть преобразование подобия пирамида РАВС будет подобна пирамиде РA1B1C1 (РАВС?Р A1B1C1). Теорема доказана. Теорема VI. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему. Дано: Правильная п-угольная пирамида Доказать: . Доказательство У правильной пирамиды в основании лежит правильный п-угольник, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней призмы Sбок=S1+ S2+ S3+...+ Sn. Площадь боковой грани определяется как площадь треугольника и равна половине произведения длины основания на высоту. Основания этих треугольников будут составлять многоугольник, являющийся основанием призмы, а высоты являются боковыми ребрами пирамиды. Отсюда: . Величина a? n равна периметру р многоугольника, являющегося основанием пирамиды, поэтому: Теорема доказана. 2. Решение задач. Задача I. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30?. Найдите высоту призмы. Дано: Наклонная призма ABCDA1B1C1D1 А1О - высота; АА1=15 см. ?А1АО=30?. Найти: высоту А1О. Решение Рассмотрим ?А1ОА. Этот треугольник - прямоугольный, так как А1О?ABCD. Отсюда: А1О=АА1?sin?А1АО= АА1?sin30?. А1О=15?0,5=7,5 cм. Ответ: высота призмы равна 7,5 см. Задача II. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм. Найдите площадь диагонального сечения. Дано: Прямоугольный параллелепипед AB=7 см, ВD=24 см, АА1=8 см. Найти: Решение Площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда равна произведению длины диагонали основания на высоту параллелепипеда: Диагональ BD найдем из ?ABD по теореме Пифагора: см. см2. Ответ: площадь диагонального сечения равна 200 см2. Задача III. В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна Q. Найдите площадь диагонального сечения. Дано: Правильная призма ABCDA1B1C1D1 Найти: Решение Правильной четырехугольной называется прямая призма, у которой основанием является квадрат. Площадь боковой грани АВВ1А1 равна произведению длины основания АВ на длину высоту ВВ1. Пусть АВ=а, ВВ1=b, тогда , но по условию Отсюда: Q=a? b. Из прямоугольного ?АВD найдем диагональ основания BD: (AB=AD так как ABCD - квадрат). Площадь диагонального сечения равна: Ответ: Задача IV. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 см2. Найдите высоту. Дано: Пряма призма ABCA1B1C1, AB=BC=AC=AA1, Sбок=12 м2. Найти: Высоту АА1 Решение Высота будет равна длине любого из ребер призмы (так как по условию задачи призма прямая и все ребра равны между собой). Площадь боковой грани призмы будет равна длине ребра возведенной в квадрат - Sб.г.=АА12, а площадь всей боковой поверхности призмы - Sбок=3АА12. Но по условию известно, что боковая поверхность призмы равна 12 см2. Отсюда: 3АА12=12 АА12=4 АА1=2 Ответ: высота призмы равна 2 м. Задача V. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м образуют угол 30?, боковое ребро равно 5 м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда. Дано: Прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1 AB=6 м, AD=8 м, АА1=5 м. ?ВАD=30? Найти: Sполн Решение Полная поверхность параллелепипеда равна сумме боковой поверхности и двух поверхностей оснований: Sполн= Sбок+2 Sосн. Боковая поверхность равна произведению периметра основания на высоту призмы: Sбок=2(AB+ВD)?АА1=2(6+8)?5=140 м2. Площадь основания равна произведению одной из сторон основания на его высоту. Найдем высоту основания из ?АВЕ: DE=AD?sin?А=8? 0,5=4 м. Sосн.=АВ?DE=6? 4=24 м2. Sполн= 140+2?24=188 м2. Ответ: полная поверхность параллелепипеда равна 188 м2. Задача VI. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды. Дано: Пирамида РАВСD, ABCD - прямоугольник, АВ=6 см, ВD=8см, РА=РВ=РС=РD=13 см. Найти: Высоту РО. Решение Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то основание высоты пирамиды будет совпадать с точкой пересечения диагоналей основания пирамиды. Рассмотрим ?BАD. в нем ?BАD=90? (так как ABCD - прямоугольник). По теореме Пифагора определим диагональ ВD: см. Рассмотрим ?ВОР. В нем ?ВОР=90? (так как РО - высота), . По теореме Пифагора определим катет PO: см. Ответ: высота пирамиды равна 12 см. Задача VII. Основание пирамиды - равнобедренный треугольник со сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Ее высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне 40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды. Дано: Пирамида РАВС, ?АВС - равнобедренный, АВ=25 см, АС=25 см, ВС=40 см, РА - высота, РА= 8 см. Найти: Sбок Решение Боковая поверхность призмы равна: Sбок=S?PАС+ S?PАB+S?PBС. Найдем площади треугольников. см2. см2. . Найдем РО из ?PАО по теореме Пифагора: Из ?АОС по теореме Пифагора:см (см). см. см2. Sбок=100+100+340=540 см2. Ответ: боковая поверхность пирамиды равна 540 см2. Задача VIII. В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания а проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения. Дано: Правильная пирамида РАВС, РО - высота, РО=h, AB=a, (ACD)?PB. Найти: SACD Решение Найдем DE. Рассмотрим ?ВDЕ. В нем?BDЕ=90? (так как (ACD)?PB). DE=BE?sin?В. Из ?РОВ: ( - как радиус описанной окружности ?АВС). Из тригонометрии известно, что . Отсюда . . Ответ: площадь сечения равна Задача IX. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания 8 см. Найдите боковое ребро. Дано: Правильная пирамида РАВСD, РО - высота, РО=7 см, АВ=8 см, Найти: Боковое ребро РВ. Решение Рассмотрим ?ВОР. В нем ?ВОР=90? (так как РО - высота), . Так как ABCD - квадрат, а ВD его диагональ, тосм. По теореме Пифагорасм. Ответ: боковое ребро пирамиды равно 9 см. Задача X. По стороне основания а найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию. Дано: Правильная пирамида, АВ=а, SABCD=SAPC. Найти: Sбок Решение Если пирамида РАВСD - правильная, то боковая поверхность будет равна половине произведения периметра основания на апофему: . Из ?ЕОР по теореме Пифагора определим РЕ: Так как SABCD =а2; , то приравняв правые части этих выражений, получим, что . Ответ: боковая поверхность призмы равна 3а2. Правильные многогранники. Многогранник называется правильным, если он выпуклый, все его грани - равные правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одинаковое число граней, все его двухгранные углы равны. Существует всего 5 видов правильных многогранников. Правильный тетраэдр. Это треугольная пирамида, все грани которой - правильные треугольники. Имеет четыре вершины и шесть ребер.; ; ; . Куб. Это параллелепипед, все грани которого - квадраты. Имеет восемь вершин и 12 ребер. ; ; ; ; . Октаэдр имеет 8 правильных треугольных граней и в каждой вершине сходятся по 4 грани. Все восемь граней - равносторонние треугольники. Имеет шесть вершин и 12 ребер. ;;;. Икосаэдр имеет 20 правильных треугольных граней и в каждой вершине сходятся по 5 граней. Имеет 12 вершин и 30 ребер. Все 12 граней - правильные пятиугольники. ;;;. Додекаэдр имеет 12 правильных пятиугольных граней и в каждой вершине сходятся по 3 грани. Имеет 20 вершин и 30 ребер.;;; Обозначения: a - ребро, V - объем, S - площадь поверхности, R - радиус описанной сферы, r - радиус вписанной сферы, H - высота. Литература Метельский Н.В. Пособие по математике. - Минск, Изд-во БГУ, 1983. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. - М., Просвещение,1990. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач. Учебное пособие для 11 классов общеобразовательных учреждений. - М., Просвещение, 1995. 1 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2025
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|