|
|
Подбор формы кривой прогнозирующей функции методом исследования характеристик приростаСодержание 1. Постановка задачи 3 2. Методы выбора формы кривой 3 3. Описание метода характеристик прироста 6 4.Примеры использования метода характеристик приростов 11 5.Перспективы использования метода характеристик приростов в условиях современной экономики 17 Литература 19 Практическая часть........................................................20 1. Постановка задачи Одной из основных проблем прогнозирования экономических показателей является выбор формы кривой для выравнивания рядов динамики. Решение это проблемы во многом определяет результаты экстраполяции тренда и, следовательно, качество получаемого прогноза. Вероятно, самым обоснованным подходом к решению проблемы был бы подход, при котором форма кривой определялась бы путем анализа изучаемого процесса развития по существу, анализа, охватывающего его внутреннюю логику, специфику и взаимосвязь с другими процессами и окружающими условиями. Однако, как правило, такой анализ в лучшем случае может вскрыть характер динамики лишь в самых общих чертах (например, движение равномерное, равноускоренное, с затуханием роста и т. д.). Чаще всего исследователь не имеет какой-либо основы для того, чтобы сформулировать общую характеристику динамики процесса с той степенью детализации, которая нужна для выбора кривой, не прибегая к анализу самих данных наблюдения. Хотя содержательный анализ и не является практическим инструментом при выборе формы кривой, он тем не менее обязательно предшествует и сопутствует эмпирическому подходу. Во всяком случае при оценке степени пригодности той или иной кривой для описания тренда последнее слово остается за ним. 2. Методы выбора формы кривой Существует несколько практических подходов, которые позволяют более или менее удовлетворительно выбрать адекватную действительной динамике форму кривой. Наиболее простой путь - визуальный (глазомерный) - выбор формы на основе графического изображения ряда динамики. Риск субъективного и произвольного выбора здесь очень велик. Разные исследователи на основе одного и того же графика могут прийти к разным выводам относительно адекватной формы кривой. К тому же результат выбора в значительной мере зависит от принятого масштаба графического изображения. Вместе с тем при относительно простой конфигурации тенденций развития визуальный подход дает вполне приемлемые результаты. Второй путь, на который обычно указывают в статистической литературе, заключается в применении метода последовательных разностей. Этот метод основывается, во-первых, на предположении о том, что уровень ряда может быть представлен как сумма двух компонент: где yt-структурная (систематическая), а случайная компоненты. Второй постулат этого метода сводится к тому, что последовательные разности величин yt стремятся к некоторому пределу. Предполагается, что на некотором этапе расчета мы получили разности, которые будут представлять собой независимые случайные величины с одинаковой дисперсией. Сказанное можно проиллюстрировать следующим. Пусть тренд строго следует графику полинома n-й степени. Разности ординат n-го порядка тогда равны друг другу, а разности (n+1)-го порядка равны нулю. Отсюда примерное равенство последовательных разностей уровней ряда рассматривается как симптом того, что yt следует в своем развитии полиному соответствующей степени. Соответственно этому методу рекомендуется исчислять первые, вторые и т. д. разности уровней ряда, т. е. (расчет ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными друг другу. Порядок разностей принимается за степень выравнивающего полинома. Так, если примерно близкими оказываются первые разности, то для выравнивания берется полином первой степени, если разность на примерно одну, и ту же величину имеют вторые разности, то берется полином второй степени и т. д. Однако такой подход далеко не универсален, он возможен при подборе только кривых, описываемых многочленами. К тому же его предпосылки могут и не быть адекватными рассматриваемому реальному процессу. Однако к выбору формы кривой можно подойти и иначе: Например, часто его осуществляют исходя из значения принятого критерия. Обычно в качестве критерия принимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровня от расчетных, полученных выравниванием. Из совокупности кривых выбирается та кривая, которой соответствует минимальное значение критерия. При этом оказывается, что чем меньше значение критерия, тем ближе примыкают к кривой данные наблюдений и кривая по предположению лучше описывает тенденцию развития. Однако в этом случае фактически нет обоснований того, что именно этот критерий дает наилучшее решение при выравнивании экономических динамических рядов. Такой подход к решению проблемы существует скорее в силу традиции и молчаливой договоренности, чем в связи с его научной обоснованностью. По-видимому, для этих же целей можно применить и иные критерии. Следует также добавить, что, ориентируясь лишь на тот или, иной критерий, трудно выбрать кривую, которая бы более или менее адекватно отражала тенденцию изменения. В самом деле, возьмем в качестве примера многочлены. Вообще говоря, к ряду, состоящему из т точек, можно так подобрать по крайней мере один многочлен (степени т - 1), что соответствующая кривая будет проходить через все т точек. Кроме того, существует множество многочленов с более высокими степенями, которые также проходят через эти точки. В любом из случаев, когда кривая проходит через все точки, сумма квадратов отклонений будет, естественно, равна нулю. Действительно, наиболее точно описывает фактическую динамику развития явления в прошлом. Однако вряд ли правомерно говорить в этом случае о выделении тенденции и тем более о применении ее для построения прогноза. Применение критерия для выбора формы кривой, по-видимому, даст практически пригодные результаты в том случае, если отбор будет проходить в два этапа. На первом этапе отбираются зависимости, пригодные с позиции содержательного подхода к задаче, приемлемых функций. На втором этапе для этих функций подсчитываются значения критерия и выбирается та из кривых, которой соответствует минимальное его значение. В большинстве случаев практически приемлемым является метод, который основывается на сравнении характеристик изменения приростов исследуемого динамического ряда с соответствующими характеристиками кривых роста. Для выравнивания выбирается та кривая, закон изменения прироста которой наиболее близок к закономерности изменения фактических данных. Поскольку основным при исследовании ряда динамики является изменение приростов, то метод, основанный на выявлении и анализе изменений приростов и различных показателей, полученных на их основе, можно считать наиболее содержательным. 3. Описание метода характеристик прироста Процедура выбора формы включает предварительную статистическую обработку ряда и сам выбор формы. Предварительная обработка состоит из трех этапов: сглаживания ряда по скользящей средней; определения средних приростов; 3) определения ряда производных характеристик прироста. Сглаживание ряда скользящей средней дает возможность грубо наметить тенденцию изменения ряда-тренд. Получив "черновой" тренд, можно легко определить средние приросты . Большинство кривых роста, могут быть преобразованы. Причем для каждой формы кривой может быть найдено такое преобразование, которое характеризуется линейным уравнением относительно неизвестного. Аналогичные характеристики приростов можно определить и для эмпирических рядов. В этом случае вместо прироста надо взять средний прирост. Если какая-либо из найденных по наблюдениям характеристик показывает близкое к линейному развитие во времени, то последнее служит симптомом того, что тенденция развития может быть описана с помощью соответствующей кривой. В качестве таких характеристик приростов могут быть приняты: В табл. 1 приводится перечень наиболее употребительных при анализе экономических рядов видов кривых и указываются соответствующие симптомы, по которым можно определить, какой вид кривых подходит для выравнивания. Таблица 1 - Характер изменения показателей, основанных на средних приростах, для различных кривых Показа-тель Характер изменения показателя по времени Вид кривой Примерное одинаковые Прямая Линейно изменяются парабола второй степени То же парабола третей степени Примерное одинаковые Экспонента Линейно изменяются Логарифмическая парабола То же Модифицированная экспонента То же Кривая Гомперца То же Логистическая кривая Иногда последние три характеристики таблицы: , не могут быть получены для некоторых рядов, поскольку значения оказываются отрицательными. Соответственно ряд характеристик прироста прерывается. С такими случаями сталкиваются тогда, когда величины отдельных наблюдений существенно отличаются от остальных данных, "выпадают" из общего хода развития. Для того чтобы уменьшить возникающий в связи с этим разрыв ряда характеристик прироста и выявить "черновую" тенденцию, можно воспользоваться одним из следующих приемов: увеличить интервал усреднения, принятый для скользящей средней; заменить "анормальные" данные расчетными величинами, например средними из уровней, предшествующих yt и следующих за ним (обычно достаточно взять по два уровня до и после момента t) Если анализу с помощью средних приростов подвергается ряд, имеющий понижающуюся тенденцию, то средние приросты, естественно, в основном будут отрицательными, отсюда невозможно найти логарифимические характеристики приростов, то можно прибегнуть к расчету приростов в обратном порядке, т. е. начинать с конца ряда. Можно указать на ряд других признаков, которые могут помочь: первые разности имеют тенденцию уменьшаться с постоянным темпом, то следует остановиться на модифицированной экспоненте, если же они образуют кривую, напоминающую асимметричное одновершинное распределение численности (со сдвигом вершины влево), то следует обратиться к кривой Гомперца, наконец, если распределение первых разностей по форме близко к нормальному, то выбирается логистическая кривая; средние уровни, нанесенные на полулогарифмическую бумагу, близки к прямой линии, то предпочтительна простая экспонента, если же эти уровни образуют кривую, близкую к модифицированой экспоненте, то следует выбирать кривую Гомперца. первые разности логарифмов уровней примерно постоянны, то выравнивание лучше вести по экспоненциальной кривой, а если они изменяются с постоянным темпом, то по кривой Гомперца; первые разности обратных значений средних уровней изменяются на один и тот же процент, то предпочтительнее остановиться на логистической кривой. Один из вопросов, который решается при выравнивании динамического ряда для последующей экстраполяции, заключается в выборе периода. Здесь не может быть применен какой-либо чисто формальный подход. Однако ясно, что если период слишком мал, то тенденцию в развитии просто нельзя обнаружить. Поэтому если нет каких-либо соображений качественного порядка, то следует стремится взять возможно больший интервал. С другой стороны очень большой временной интервал может охватить периоды с различными тенденциями. Поэтому описание такого ряда с помощью одной кривой не даст приемлемых результатов: тренд будет смещен и мало пригоден для экстраполяции. В таких случаях, по-видимому, лучше сократить интервал выравнивания, отбросив наиболее ранние уровни, которые, по суждению исследователя, относятся к периоду с иной тенденцией развития. Если развитие обнаруживает циклический характер, то для обнаруживания тренда лучше взять период от середины первого цикла до середины последнего. Можно полагать, что чем выше колеблемость уровней ряда, тем продолжительнее должен быть временной интервал, охваченный наблюдением. Следует также отметить, что чем больше параметров содержит уравнение тренда, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания. На этой проблеме мы остановимся в следующих главах. При выборе формы кривой надо иметь в виду еще одно обстоятельство. Рост сложности кривой в целом ряде случаев, может действительно увеличить точность описания тренда в прошлом, однако в связи с тем, что более сложные кривые содержат большее число параметров и более высокие степени независимой переменной, их доверительные интервалы будут в общем существенно шире, чем у более простых кривых при одном и том же периоде упреждения. Особо следует выделять тот случай, когда ряд динамики может быть хорошо выровнен с помощью экспоненциальной кривой. Здесь, по-видимому, нельзя безоговорочно принять гипотезу об экспоненциальной тенденции развития даже в случае, если к исследуемому ряду естественно подобрать соответствующую кривую. Дело в том, что первая половина логистической кривой (до перегиба) близка к экспоненциальной кривой. Таким образом, на основе только эмпирического ряда нельзя дать однозначный ответ. Выход можно найти, получив ответ на вопрос о том, может или нет по своему существу явление "затухать" в будущем, возможно или нет "насыщение" при данной совокупности условий, имеется или нет некоторое ограничение для процесса (законодательное,. ограниченность материальных ресурсов или производственных мощностей и т. д.). Если ответ на этот вопрос положителен, то экспоненциальный тренд в прошлом скорее следует рассматривать как часть выходящей за рамки наблюдения логистической кривой, чем самостоятельную кривую. 4. Примеры использования метода характеристик приростов. Пример 1 Таблица 2. Мощность электростанций СССР, млн. квт. t yt ut t yt ut 1960 66,7 - 1966 123,0 8,0 1961 74,1 7,4 1967 131,7 8,7 1962 82,5 7,4 1968 142,5 10,8 1963 93,0 10,5 1969 153,8 11,3 1964 103,4 10,6 1970 166,2 12,4 1965 115,0 11,4 1971 175,4 9,2 Рассматриваемый ряд отличается устойчивым ростом. В целом для него характерен линейный тренд (первые разности, ut, в общем варьируют сравнительно мало). Следует, однако, заметить, что если отбросить первые пять, шесть начальных уровней, то у оставшейся части ряда средние скользящие приросты будут характеризоваться некоторым линейным ростом, что является симптомом параболического тренда. В самом деле, величины прироста для 1966 и далее составят: 9,7; 9,5; 9,7; 10,8; 11,1. Пример 2 Таблица 3. Производство радиоприемников на предприятии с 1960 по 1973 г., тыс. шт. t yt t yt 1960 3,6 1967 24,4 1961 4,9 1968 22,9 1962 10,3 1969 25,3 1963 12,8 1970 28,2 1964 13,7 1971 30,2 1965 14,5 1972 34,1 1966 17,1 1973 32,5 При рассмотрении графического изображения данного ряда (рис. 1а) легко сделать вывод о том, что тенденция приближается к линейной. Если подсчитать характеристики приростов (табл. 4) и построить соответствующие графики, то визуально можно установить, что наибольшее приближение к линейному изменению характерно для . Таблица 4. Характеристики приростов (пример 2) N t yt yt 1 1960 3,60 - - - - - - - 2 1961 4,90 - - - - - - - 3 1962 10,30 9,60 2,86 - 0,30 0,46 - 0,53 - 1,51 4 1963 12,80 11,20 2,26 - 0,55 0,20 0,35 - 0,70 - 1,74 5 1964 13,70 13,60 1,53 - 0,73 0,11 0,18 - 0,95 - 2,08 6 1965 14,50 16,50 2,66 1,13 0,16 0,42 - 0,79 - 2,01 7 1966 17,10 18,50 2,83 0,17 0,15 0,45 - 0,82 - 2,08 8 1967 24,40 20,80 2,74 - 0,09 0,13 0,44 - 0,88 - 2,20 9 1968 22,90 23,60 2,31 - 0,42 0,10 0,36 - 1,01 - 2,38 10 1969 25,30 26,20 1,69 - 0,62 0,06 0,23 - 1,19 - 2,61 11 1970 28,20 28,14 2,73 1,04 0,10 0,44 - 1,01 - 2,46 12 1971 30,20 30,06 2,03 - 0,70 0,07 0,31 - 1,17 - 2,65 13 1972 34,10 - - - - - - - 14 1973 32,50 - - - - - - - Рис. 1 . Характеристика приростов динамического ряда (пример 2) Среди этих трех показателей, по-видимому, наименьший разброс вокруг прямой имеют две последние из трех указанных величин (точное сопоставление невозможно в связи с тем, что у каждого графика свой масштаб). Пример 3. Таблица 5. Добыча каменного угля в Англии за период с 1957 по 1970 годы t yt t yt 1957 227 1964 197 1958 219 1965 191 1959 209 1966 177 1960 197 1967 175 1961 193 1968 167 1962 200 1969 153 1963 199 1970 144 Таблица 6. Характеристики приростов (пример 3) N yt yt 1 144,00 - - - - - - - 2 153,00 - - - - - - - 3 167,00 163,00 8,80 0 0,054 0,94 - 1,27 - 3,48 4 175,00 173,00 8,60 - 0,20 0,050 0,93 - 1,30 - 3,54 5 177,00 181,00 7,60 - 1,00 0,042 0,88 - 1,38 - 3,63 6 191,00 188,00 6,80 - 0,80 0,036 0,83 - 1,44 - 3,72 7 197,00 193,00 5,40 - 1,40 0,028 0,73 - 1,55 - 3,84 8 199,00 196,00 0,70 - 4,70 0,004 - 0,15 - 2,45 - 4,74 9 200,00 197,00 - 0,60 - 1,30 -0,003 0 0 0 10 193,00 200,00 1,70 2,30 0,009 0,23 - 2,07 - 4,37 11 197,00 204,00 5,40 3,70 0,026 0,73 - 1,58 - 3,89 12 209,00 209,00 9,00 3,60 0,043 0,95 - 1,37 - 3,69 13 219,00 - - - - - - - 14 227,00 - - - - - - - *Уровни расположены в обратном порядке Ряд имеет явно выраженную понижающуюся тенденцию. Графическое изображение ряда вызывает впечатление о наличии линейного тренда (рис.2.). Рис. 2. Динамика добычи угля Определим теперь характеристики приростов. Для того чтобы получить положительные значения приростов (а это необходимо для вычисления логарифмических функций и соответствующих преобразований), расчет осуществим в обратном порядке-от конца ряда к его началу. Результаты представлены в табл. 3. В наибольшей мере приближаются к линейному развитию такие характеристики, как вторая половина ряда) и . Иначе говоря, имеются признаки того, что ряд ближе к модифицированной экспоненте, логарифмической параболе (во второй половине ряда) и к логистической кривой в вариантах, характеризующих падение уровня, чем к другим типам кривых. В качестве самого грубого варианта можно остановиться на прямой. Окончательный выбор формы кривой - дело содержательного анализа конкретной проблемы, который должен охватывать не только исследование тенденций, наблюдавшихся в прошлом, но и решение вопроса о том, следует или нет ожидать сохранения этих тенденций. Из сказанного выше, по-видимому, можно сделать вывод о том, что выбор формы кривой для выравнивания представляет собой )8адачу, которая не решается однозначно, а сводится к получению ряда альтернатив. Окончательный выбор не может лежать в области формального анализа, тем более если предполагается с помощью выравнивания не только статистически описать закономерность поведения уровня в прошлом, но и экстраполировать найденную закономерность в будущее. Вместе с тем различные статистические приемы обработки данных наблюдения, как было показано выше, могут принести существенную пользу; в самом крайнем случае с их помощью можно отвергнуть заведомо непригодные варианты и тем самым существенно ограничить поле выбора. В значительном же числе случаев приведенные выше приемы обработки рядов дают исследователю материал для достаточно оправданного выбора формы кривой, описывающей тенденцию развития. Перспективы использования метода характеристик приростов в условиях современной экономики. Рыночная экономика имеет большую потребность в разработке и построении качественных прогнозов динамики изменения различных показателей. Одним из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т.е. продлении в будущее тенденций наблюдавшихся в прошлом. Экстраполяция сравнительно широко применяется из-за ее простоты, возможности осуществления на основе небольшого объема информации и ясности принятых допущений. Экстраполяция базируется на следующих допущениях: развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризоваться плавной кривой; общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом и не претерпят существенных изменений в будущем. Наиболее важным этапом построения экстраполяционной модели является выделение кривой роста. Кривые роста, описывающие закономерности развития явления во времени, получают путем аналитического выравнивания динамических рядов. Процесс выравнивания состоит из двух основных этапов: Выбор формы кривой, форма которой соответствует характеру изменения динамического ряда; Определение численных значений параметров кривой. Вопрос о выборе формы кривой является основным при выравнивании ряда. При всех прочих равных условиях именно ошибка при выборе вида кривой является наиболее значимой по своим последствиям при прогнозировании, чем другие ошибки. Метод исследования характеристик прироста является наиболее эффективным и перспективным из всех методов используемых для выбора вида кривой. Это объясняется эго довольно высокой точностью и не значительными вычислительными трудностями. Полученный с помощью этого метода результат можно легко интерпретировать. А для выбранного вида кривой, затем можно оценить ее параметры. При этом главным преимуществом этого метода является то, что полученная кривая имеет закон прироста в наибольшей степени соответствующий закону изменения прироста фактических данных. Следовательно, данный метод можно рекомендовать для широко практического применения при построении прогнозных моделей. Литература Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования - М.: Статистика, 1974 . Тейл Г. Экономические прогнозы и принятие решений. - М.: Прогресс, 1966 . Практическая часть Исходные данные: t-критерий Стьюлента - 2,501, F-критерий Фишера - 7,56, Стандартное отклонение S1,2 - 35,1 , Число наблюдений - 8, Горизонт прогнозирования - 9. Параметры прогнозирующей функции: a=-55,9; b=68,2. Решение: а) Устанавливаем величину доверительных пределов прогноза путем сравнения значения критерия Стьюдента (t) с его табличным значением, если табличное значение превосходит расчетное, то предлагаемая модель прогноза соответствует выбранному доверительному интервалу, в противном случае - не соответствует и, следовательно, вероятность отклонения истинного значения прогнозируемого показателя от расчетного на превышает ее половинного значения. Выберем доверительные пределы . Табличное значение t-распределения, для N-2 степеней свободы, для нашего случая при 6 степенях свободы и будет ta/2 = 1,943. Так как табличное значение t-критерия больше, чем расчетное его значение, то можно считать, что используемая прогнозируемая функция дает прогноз, соответствующий выбранному доверительному интервалу. б) Проверяем статистическую значимость используемой прогнозной модели путем сравнения расчетного значения критерия Фишера (F) с его табличным значением. По заданию F-критерий Фишера - 7,56 , табличное значение (при доверительном уровне 10%, n1=n2=8-2=6) равно 13,74, следовательно, модель статистически значима и может применятся в рассматриваемых целях. с) Рассчитаем точечный прогноз Y(T) путем подстановки в модель параметров a и b, а также горизонта прогнозирования. Для наших данных Y(9)=-55,9+68,2*9=557,9 Таким образом, значение показателя Y, в соответствии с нашим прогнозом, составит в 9 периоде от начала наблюдений 557,9. d) Определим доверительные пределы прогноза по формулам: нижний где t-расчетное значение критерия Стьюдента; F- расчетное значение критерия Фишера; S1,2 -стандартное отклонение от линии регрессии; N- количество наблюдений используемое для построения прогноза; Для уменьшения ширины доверительного интервала необходимо увеличивать число наблюдений при этом происходит уменьшение табличного значения критерия Стьюдента. Для того, чтобы доверительный интервал сократился вдвое, необходимо, чтобы критерий Стьюдента уменьшился вдвое. Для этого можно повысить доверительную вероятность до 20%, тогда критерий Стьюдента составит (при числе степеней свободы - 6) 1,372. Новые доверительные интервалы: Как видно доверительные интервалы сократились. 2 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|