|
|
Статистическое моделированиеСовременные методы статистического моделирования (методы Монте-Карло) получили большое распространение с быстрым развитием вычислительной техники. Эти методы используем для решения следующих краевых задач математической физики. Задача Дирихле для стационарного уравнения диффузии с постоянным коэффициентом поглощения. { (1) Для решения этой задачи используется следующий способ: Пусть х - точка, в которой необходимо найти решение задачи (1). Внутри шара К(x, d(x)) с центром в точке х радиуса d(х) формула Грина имеет вид: (2) Ряд Неймана сходится, и поэтому используем оценку по столкновениям на процессе блуждания по сферам {xn, x0=x}: u(x) = ??, ? = f(x) = (3) где , di =d(xi), Q0 = 1 (4) Cлучайная оценка f имеет вид: (5) Итоговая случайная оценка имеет вид: (6) и является ?-смещенной. xN* = ближайшая к xN граничная точка. Для оценки снизу здесь используем интеграл. , (7) где dmax - точная верхняя граница радиусов сфер, целиком лежащих в G. Уравнение Ламе. Это система уравнений, для которой векторный алгоритм блуждания по сферам непосредственно обобщен, поэтому возникают сложности со сходимостью и составлением явного алгоритма решения данной задачи. ??u(x) + (? + ?) grad div u(x) = 0, x?G?R3, u??G = ?, (8) где u(x), ?(x) - вектор-функции со значениями в R3; ?, ? - постоянные Ламе. Используется подход, имеющий приближенную информацию о спектре задачи (9): ?*u(x, ?) - ?u(x, ?) = 0, x?G; u??? = ?, (9) где ? - комплексный параметр; оператор ?* действует на векторную функцию u=(u1, ...,un)T по правилу ?*u = ??u(x) + (? + ?) grad div u(x) , (10) Теорема 3.11. [1] Общее решение уравнения (10), u(x)?C2(G), может быть представлено в виде u(x)=u(x)p + u(x)s, где u(x)p + u(x)s - регулярные вектор-функции, определяемые соотношениями (? - kp2)up=0, rot up=0, (? - ks2)us=0, div us=0 (11) kp=??(?+2?)?k2, ?(?/?)?k1, (12) где up=(? - ks2)u/(kp2-ks2); us=(? - kp2)u/(ks2-kp2); u?C?(G). Теорема 3.12. [1] Общее решение уравнения (10), u(x) ?C2(G), удовлетворяет следующему соотношению: . (13) Теорема 3.13. [1] (Теорема о среднем значении) Решение уравнения (10), u(x) ?C2(G), удовлетворяет следующему соотношению о среднем: . (14) N(1)u(x) = w1us(x) + w2up(x) (15) Для внутренней задачи Неймана: { (16) решение будем искать в виде потенциала простого слоя, плотность которого удовлетворяют интегральному уравнению: (17) Свободный член g*(y) (17) удовлетворяет условию ортогональности , а (18) ?0 нормирована условием: x ? G ? ? G (19) Решение внутренней задачи (15) есть: . Изложенные методы статистического моделирования решения задач математической физики представлены далее в алгоритмах и программах, написанных на С++ для Windows. Программы прилагаются отдельными файлами на дискете. Алгоритм решения стационарного уравнения диффузии: Постановка задачи: { где С ? 0 G: x12+ x22+ x32 ? a2, Г: y12+ y22+ y32 = a2. ?(y) = y1+y2+y3, где y12+y22+y32=a2 (задается) 1. Дано: c? 0, a > 0, g, ? << a - const, ? - const. ?(y) = y1+y2+y3 - к примеру, причем Q0 = 1; y12+y22+y32=a2; -a< y1 Определяем последовательность случайных точек х1,...хN - процесс блуждания по сферам, выходящий из точки х? G . x0 = x ?1 = 1-?; ?2 = ?(1-?12) * cos(2??2); ?3 = ?(1-?12) * sin(2??2) Xi1 = Xi-11+ ?1di; Xi2 = Xi-12+ ?2di; Xi3 = Xi-13+ ?3di, Если d > ? или N ?Nmax, то 2. Моделируем "случайный узел" и подсчитываем: f1(xi) и Qi i=0,...,N-1 , i =1,...,N , (y=xN) 4. Повторить процесс 2.3. для той же точки х k-раз, после того, как будет наблюдаться устойчивая тенденция: ?М?k - ?? < ? , то процесс прекратить. u(x) = ? Алгоритм решения уравнения Ламе (в неявном виде). Постановка задачи: { , x ?G ? R3 , где u(x), ?(y) -вектор-функция со значением в R3; ?, ? - постоянные Ламе. Дано: ?, ?, ? ? С - const; a; ? << a ? R - const. - вектор-функция (задается произвольно), причем должно выполняться условие: x12 + x22 + x32 = a2, N-max значение массива. Моделируем алгоритм блуждания по сферам: Задается точка х = (х1;х2;х3), в которой требуется найти значение u(x). -a < x1 < a; -a < x2 < a; -a < x3 < a.- это условие должно выполняться. x0 = x; di = a -?(x12 + x22 + x32); Случайное число ?; ri = ?d. ?1=1-2?1; ?2=?(1-?12)* cos(2?2); ?3=?(1-?12)* sin(2?2) Xi1 = Xi-11+ ?1ri; Xi2 = Xi-12+ ?2ri; Xi3 = Xi-13+ ?3ri. Если ri ? ?, или i > N , то процесс прекращается. y1 = Xi-11; y2 = Xi-12; y3 = Xi-13; Находим up и us - регулярные вектор-функции, определяемые соотношениями: и , т.е. up и us - распадаются в ряд ; ; и u ? c? (G) ; . ; , где ? = (n + 2)(? +?) / 2[?+?(n+1)]. N(1) u(x) = w1us(x) + w2up(x) Алгоритм решения задачи Неймана. Постановка задачи: { g=const, где G: x12+ x22+ x32?a2, Г=? G: y12+ y22+ y32= a2. Дано: g, a, ?,<< a - const - задаем Обрыв, если 1.Задаем х внутри шара G: х=(х1; х2; х3), причем -a< x1 y1i=?1* a; y2i=?2* a; y3i=?3* a Если или n >N, то процесс закончен, если нет, то далее п. 1.1. 2. - задаем. ?k=u(x) == =. M?k=? Если ? M?k - ?? < ?, то конец процесса, если нет, то п. 1. Использованная литература: Сабельфельд К.К. Статистическое моделирование в задачах математической физики: Учебное пособие. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1992 г. Бронштейн Н.Н. и Семендяев К.А. "Справочник по математике" - М., 1953. Елонов Б.С., Кренберг А.А., Михайлов Т.А. Решение краевых задач методом Монте-Карло. Cабельфельд К.К. Наука. Сиб. отд. - Новосибирск, 1980. 2 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|