|
|
Социальное и экономическое прогнозированиеЗаданы два ряда: y(t) - среднемесячные значения курса акций компании Y; x(t) - среднемесячные значения индекса деловой активности. Сделать прогноз значений y(11) b y(12): методом экстраполяции линейного тренда y(t) = a0 + a1t ; методом линейного сглаживания Брауна y(t) = a0 + a1k ; с помощью линейной регрессионной модели y(t) = a0 + a1x(t) , считая, что x(11) и x(12) заданы. Сопоставить точность полученных моделей прогнозирования по значениям средней, среднеквадратической и средней абсолютной процентной ошибки. Исходные данные представлены в таблице 1. Таблица 1 Вариант t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 y(t) 50 48 45 43 38 40 36 32 28 25 x(t) 62 64 67 70 69 72 78 77 82 85 88 91 Решение: 1. Производим расчёт тренда по методу линейной экстраполяции. Данная тенденция описывается следующей функцией: f(t) = a0 + a1t . Параметры а0 и а1 оцениваем при помощи метода наименьших квадратов (МНК), т.е. подбираем таким образом, чтобы график функции располагался на минимальном удалении от данных наблюдений. Приравниваем к нулю частные производные по а0 и а1 и получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: Решаем эту систему и получаем параметры линейного роста: , , , где , . Расчёт параметров уравнения линейного тренда для прогнозирования среднемесячных значений курса акций компании производим в табличной форме (таблица 2). Таблица 2. Расчёт параметров уравнения линейного тренда № t yt t - tср (t - tср)2 y - yср (t-tср)(y-yср) а0 + а1t E1 1 1 50 -4,5 20,25 11,5 -51,75 50,745 -0,745 2 2 48 -3,5 12,25 9,5 -33,25 48,024 -0,024 3 3 45 -2,5 6,25 6,5 -16,25 45,303 -0,303 4 4 43 -1,5 2,25 4,5 -6,75 42,582 0,418 5 5 38 -0,5 0,25 -0,5 0,25 39,861 -1,861 6 6 40 0,5 0,25 1,5 0,75 37,139 2,861 7 7 36 1,5 2,25 -2,5 -3,75 34,418 1,582 8 8 32 2,5 6,25 -6,5 -16,25 31,697 0,303 9 9 28 3,5 12,25 -10,5 -36,75 28,976 -0,976 10 10 25 4,5 20,25 -13,5 -60,75 26,255 -1,255 11 23,533 12 20,812 Итого 55 385 0 82,50 0 -224,50 385 0,000 Средние 5,5 38,5 0 8,25 0 -22,45 38,5 0,000 В результате использования метода наименьших квадратов были получены следующие оценки параметров модели линейного тренда: а1 = 205,889 / 85 = -2,721, а0 = 59,222 - 2,422 ? 5 = 53,467 . Искомая прогнозная функция: f(t) = 53,467 - 2,721 t Для оценки качества аппроксимации полученного уравнения тренда применяется коэффициент детерминации R2, который показывает какая доля вариации прогнозируемой результативной переменной y объясняется влиянием включенных в модель факторов, в данном случае фактором времени t . Коэффициент детерминации рассчитывается следующим образом: . Интервальная оценка прогноза получается исходя из точечной оценки, стандартной ошибки прогноза и значения t-статистики Стьюдента (tр) для заданной вероятности ошибки прогноза р. Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле: . Здесь s - стандартная (средняя квадратическая) ошибка уравнения: . Абсолбтная величина доверительного интервала прогноза U(k) при вероятности ошибки p составит: . Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы: верхняя граница y(n+k) + U(k), нижняя граница y(n+k) - U(k) . Качество прогноза оценивается точностью, или степенью близости модели прогноза к фактическим данным и адекватностью, или соответствием модели и реального процесса по ряду статистических характеристик. В качестве показателей точности модели наиболее часто применяют среднеквадратическую ошибку (МSЕ), среднеквадратическое отклонение (S) и среднюю абсолютную процентную ошибку (МАРЕ). ; ; . Величина МАРЕ ? 5% свидетельствует о приемлемой точности прогноза экономического показателя. При МАРЕ ? 10% следует рассмотреть другие методы прогноза. Модель прогнозирования считается адекватной, если остатки Еt несмещены, случайны, независимы и нормально распределены. В том случае, когда ряд остатков обладает всеми указанными свойствами, можно построить интервальный прогноз, то есть указать верхнюю и нижнюю границы прогноза и вероятность попадания прогноза в интервал между верхним и нижним уровнем. Свойства случайности, независимости и нормальности устанавливаются с помощью различных статистических критериев. Несмещенность остатков обычно устанавливается на основе средней ошибки (МЕ) модели: . Модель признается несмещенной, если , где tp- табличное значение t-распределения Стьюдента. Случайность ряда остатков наиболее часто устанавливается с помощью критерия поворотных точек или критерия серий. В соответствии с критерием поворотных точек каждый уровень ряда сравнивается с двумя соседними. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается общее число поворотных точек р. В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство: , где квадратные скобки означают целую часть числа. Независимость (в первом приближении - отсутствие автокорреляции) устанавливается, например, применением d-критерия Дарбина - Уотсона или критерия первого коэффициента автокорреляции r(1),где коэффициент автокорреляции r (m) при сдвиге на m шагов вычисляется по формуле: . Если r(1) ? rтаб, то данные в ряду остатков коррелированны. В соответствии с критерием Дарбина - Уотстна надо вычислить коэффициент d: . Величина d сопоставляется с двумя табличными значениями d1 и d2, которые зависят от числа наблюдений, количества параметров модели прогнозирования и уровня значимости. Если d-коэффициент находится в пределах от 0 до d1, то ряд остатков сильно коррелирован. Если он находится в пределах от d2 до 2, то условие независимости выполняется. Если d -коэффициент превышает 2, то это свидетельствует об отрицательной корреляции и перед входом в таблицу его величину надо преобразовать: d=4-d. В том случае, когда расчетная величина попадает в интервал ( d1, d2), однозначного вывода нет, и следует воспользоваться другими критериями независимости ряда остатков, например, первого коэффициента автокорреляции r(1), который вычисляется по формуле: . Если |r(1)| > rтабл, то присутствие в остаточном ряду существенной автокорреляции подтверждается. Табличные значения d1 и d2, так же как и rтабл для критерия независимости по первому коэффициенту автокорреляции, приведены в справочниках. Нормальность остатков может быть проверена путем расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса. Их значения должны быть близки к нулю. Степень близости к нулю оценивается по дисперсии асимметрии и эксцесса. Для проверки нормальности можно примерить также RS-критерий: RS = (Emax - Emin) / S, где (Emax - Emin) - разность между максимальным и минимальным уровнем ряда остатков, а S - среднеквадратическое отклонение. Если значение попадает между табулированными значениями при заданной доверительной вероятности, то гипотеза о нормальности принимается. Табулированные значения при уровне значимости 0,05 приведены в справочных таблицах. Проверка нормальности остатков может быть выполнена и с помощью других критериев. Эти критерии встроены в соответствующие профессиональные пакеты программ, обеспечивающие статистическую обработку данных. Практика показывает, что для получения достоверных выводов о свойствах ряда остатков необходимо применить по несколько критериев на случайность, независимость и нормальность Et. Проверим адекватность полученной модели (табл. 3) и найдём точечный и интервальный прогноз для t(11) и t(12). Таблица 3 Проверка адекватности модели линейного тренда t yt Et Точки поворота Et2 Et- Et-1 (Et- Et-1)2 Et* Et-1 ?Et ?/yt 1 50 -0,745 - 0,556 - - - 0,015 2 48 -0,024 1 0,001 0,721 0,520 0,018 0,001 3 45 -0,303 0 0,092 -0,279 0,078 0,007 0,007 4 43 0,418 1 0,175 0,721 0,520 -0,127 0,010 5 38 -1,861 1 3,462 -2,279 5,193 -0,778 0,049 6 40 2,861 1 8,183 4,721 22,290 -5,322 0,072 7 36 1,582 0 2,502 -1,279 1,635 4,525 0,044 8 32 0,303 0 0,092 -1,279 1,635 0,479 0,009 9 28 -0,976 0 0,952 -1,279 1,635 -0,296 0,035 10 25 -1,255 - 1,574 -0,279 0,078 1,224 0,050 Итого 55 385 0,000 4 17,588 -0,509 33,584 -0,269 0,291 Средние 5,5 38,5 0,000 0,5 1,759 -0,057 3,732 -0,030 0,029 Точность MSE = 1,759 ; MAPE = 2,91 % < 5% ; s = 1,483 Случайность 4 > 3,92 Да Независимость d = 1,91 1,91 > 1,31 Да Нормальность S = 1,397 Emin = -1,861 RS = 2,385 Да Emax = 2,861 3,685> RS > 2,67 Точечный прогноз y(11) a0 + a1t = 23,533 Ошибка прогноза 3,621 при p = 0,05, tp = 2,262 и R2 = 0,972 Интервальный прогноз нижняя граница = 19,912 верхняя граница = 27,154 Точечный прогноз y(12) a0 + a1t = 20,812 Ошибка прогноза 3,642 при p = 0,05, tp = 2,262 и R2 = 0,972 Интервальный прогноз нижняя граница = 17,170 верхняя граница = 24,454 2. Производим расчёт тренда по методу модели линейного экспоненциального сглаживания Брауна. Промежуточные расчеты по модели линейного экспоненциального сглаживания Брауна при значении параметра а=0,4 (соответственно, 1-а=0,6) представлены в таблице 4. Таблица 4. Расчеты экспоненциально сглаженных средних по линейному методу Брауна t yt ut ut 2ut-ut Et ut-ut a1(t) 50 50 50 1 50 50 50 50 0 0 0 2 48 49,2 49,200 49,200 -1,200 0,000 0,000 3 45 46,8 47,520 46,080 -1,080 -0,720 -0,480 4 43 44,2 45,712 42,688 0,312 -1,512 -1,008 5 38 41 42,627 39,373 -1,373 -1,627 -1,085 6 40 38,8 41,576 36,024 3,976 -2,776 -1,851 7 36 38,4 39,346 37,454 -1,454 -0,946 -0,631 8 32 34,4 36,407 32,393 -0,393 -2,007 -1,338 9 28 30,4 33,044 27,756 0,244 -2,644 -1,763 10 25 26,8 29,827 23,773 1,227 -3,027 -2,018 ИТОГО 55,0 385 400,000 415,260 384,740 0,260 -15,260 -10,173 Средние 5,5 38,5 72,727 75,502 69,953 0,047 -2,775 -1,850 Проверим адекватность адаптивной модели Таблица 5. Проверка адекватности модели линейного сглаживания Брауна t yt Et Точки поворота Е2t ABS (Et) ABS (Et/yt) Et-Et-1 (Et-Et-1)2 1 50 0 0 0 0 0 0 0 2 48 -1,200 1 1,440 1,200 -0,025 -1,200 1,440 3 45 -1,080 0 1,166 1,080 -0,024 0,120 0,014 4 43 0,312 1 0,097 0,312 0,007 1,392 1,938 5 38 -1,373 1 1,885 1,373 -0,036 -1,685 2,839 6 40 3,976 1 15,811 3,976 0,099 5,349 28,613 7 36 -1,454 1 2,115 1,454 -0,040 -5,431 29,491 8 32 -0,393 0 0,154 0,393 -0,012 1,062 1,127 9 28 0,244 0 0,060 0,244 0,009 0,637 0,406 10 25 1,227 0 1,505 1,227 0,049 0,982 0,965 ИТОГО 55,0 385 0,260 5 24,233 11,259 0,027 1,227 66,832 Средние 5,5 38,5 0,047 0,500 2,423 1,126 0,003 0,123 6,683 Точность MSE = 2,423 ; МЕ = 0,03 ; MAPE = 0,27 % < 5% Случайность 5 > 3,92 Да Независимость d = 2,758 1,31 > 1,242 > 1,08 Нет Нормальность S = 1,641 Emin = - 1,454 RS = 3,309 Да Emax = 3,976 3,685> RS > 2,67 Точечный прогноз y(11) 2u10 - u10 + 1?a1(10) = 21,775 Ошибка прогноза 4,252 при p = 0,05, tp = 2,262 Интервальный прогноз нижняя граница = 17,503 верхняя граница = 26,007 Точечный прогноз y(12) 2u10 - u10 + 2?a1(10) = 19,737 Ошибка прогноза 4,298 при p = 0,05, tp = 2,262 Интервальный прогноз нижняя граница = 15,439 верхняя граница = 24,035 3. В экономическом моделировании и прогнозировании часто требуется давать прогноз с учетом ведущих факторов. Эти задачи решаются с помощью эконометрических методов и, в частности, методов регрессионного анализа. Пусть на интересующий нас процесс оказывает влияние один фактор. В этом случае между независимой (факторной) переменной х и зависимой (результативной) переменной у будет существовать корреляционная связь. Если предположить, что форма связи между переменными является линейной, а значения величин х и у распределены по нормальному закону, то тесноту связи между этими переменными можно оценить по следующей формуле: . Значение коэффициента корреляции может изменятся в интервале от -1 до 1. Чем ближе значение R по абсолютной величине к 1, тем сильнее связь между переменными. Напротив, чем ближе значение R к 0, тем эта связь слабее. При R=1 связь между переменными является функциональной. Если коэффициент корреляции показывает существование достаточно тесной связи между факторной и результативной переменными, имеется возможность использовать для прогнозирования модель линейной регрессии. Линейная модель влияния фактора х на процесс у запишем в виде: у = а0+а1х . Оценку параметров модели регрессии выполняем методом наименьших квадратов. , а0= (yср - a1xср) . Прогнозную оценку переменной у получаем подстановкой в модель соответствующего прогнозного значения х для того же момента или периода наблюдений. При разработке прогноза используем информацию из задания, что, согласно экспертной оценке, ожидаемый уровень индекса деловой активности в 11 месяце года наблюдений (t=11) составит в среднем 50 пунктов, в 12-ом 52 пункта. Результаты расчетов, используемых при построении модели линейной регрессии, приведены в таблице 6. Таблица 6. Расчет параметров регрессионной модели t xt yt x - xср (x - xср)2 y - yср (yt - yср)2 (x-xср)(yt - yср) a0+a1xt Еt 1 62 50 -10,6 112,36 11,5 132,25 -121,9 49,714 0,286 2 64 48 -8,6 73,96 9,5 90,25 -81,7 47,598 0,402 3 67 45 -5,6 31,36 6,5 42,25 -36,4 44,424 0,576 4 70 43 -2,6 6,76 4,5 20,25 -11,7 41,251 1,749 5 69 38 -3,6 12,96 -0,5 0,25 1,8 42,308 -4,308 6 72 40 -0,6 0,36 1,5 2,25 -0,9 39,135 0,865 7 78 36 5,4 29,16 -2,5 6,25 -13,5 32,787 3,213 8 77 32 4,4 19,36 -6,5 42,25 -28,6 33,845 -1,845 9 82 28 9,4 88,36 -10,5 110,25 -98,7 28,556 -0,556 10 85 25 12,4 153,76 -13,5 182,25 -167,4 25,382 -0,382 Итого 55 726 385 0,000 528,4 0 628,5 -559 385, 0,000 Средние 5,5 72,6 38,5 0,000 52,84 0 62,85 -55,9 38,5 0,000 Полученное уравнение линейной регрессии запишется следующим образом: а1 = 0,828 ; а0 = 29,607 ; y = 29,607 + 0,828 xt . Для того, чтобы оценить, насколько хорошо данная модель аппроксимирует зависимость между переменными х и у, необходимо рассчитать ряд статистических характеристик. В качестве оценки доли общей вариации переменной у, объясняемой влиянием фактора х, используется уже известный нам коэффициент детерминации: = 1 - (35,379 / 564,2) = 0,937. Связь достаточно тесная. Расчеты характеристик качества полученного прогноза приведены в таблице 7. Таблица 7. Проверка адекватности модели линейной регрессии t xt yt Et Точки поворота Et2 Et- Et-1 (Et- Et-1)2 Et* Et-1 ?Et ?/yt 1 62 50 0,286 - 0,082 0,286 0,082 0,000 0,006 2 64 48 0,402 0 0,162 0,116 0,013 0,115 0,008 3 67 45 0,576 0 0,331 0,174 0,030 0,231 0,013 4 70 43 1,749 1 3,061 1,174 1,378 1,007 0,041 5 69 38 -4,308 1 18,563 -6,058 36,698 -7,537 0,113 6 72 40 0,865 0 0,749 5,174 26,768 -3,728 0,022 7 78 36 3,213 1 10,322 2,347 5,511 2,780 0,089 8 77 32 -1,845 1 3,405 -5,058 25,582 -5,928 0,058 9 82 28 -0,556 0 0,309 1,290 1,663 1,025 0,020 10 85 25 -0,382 - 0,146 0,174 0,030 0,212 0,015 Итого 55 726 385 0,000 4 37,128 -0,382 97,755 -11,823 0,385 Средние 5,5 72,6 38,5 0,000 0,5 3,713 -0,038 9,776 -1,182 0,038 Точность MSE = 3,712 ; MAPE = 3,85 % < 5% Случайность 4 > 3,92 Да Независимость d = 2,633 4 - d =1,367 > 1,31 Да Нормальность S = 2,031 Emin = -4,308 RS = 3,703 Нет Emax = 3,213 3,685> RS > 2,67 Точечный прогноз y(11) при x(11) = 88 a0 + a1x = 22,208 Ошибка прогноза 4,961 при p = 0,05, tp = 2,262 и R2 = 0,970 Интервальный прогноз нижняя граница = 17,247 верхняя граница = 27,169 Точечный прогноз y(12) при x(12) = 91 a0 + a1x = 19,030 Ошибка прогноза 4,989 при p = 0,05, tp = 2,262 и R2 = 0,970 Интервальный прогноз нижняя граница = 14,041 верхняя граница = 24,019 В заключение сопоставим результаты прогнозирования полученные с использованием различных методов (табл. 8) Таблица 8. Прогнозы, полученные различными методами, и адекватность используемых моделей Метод Точечный прогноз Свойства остатков Случайность Нормальность Независимость y(11) Нижняя граница Верхняя граница y(12) Нижняя граница Верхняя граница Экстраполяции тренда 23,533 19,912 27,154 20,812 17,170 24,454 Да Да Да Сглаживания Брауна 21,775 17,503 26,007 19,737 15,439 24,035 Да Да Нет Линейной регрессии 22,208 17,247 27,169 19,030 14,041 24,019 Да Нет Да Полученные прогнозные оценки близки, но наибольшей достоверностью обладает прогноз, полученный методом линейной экстраполяции тренда, единственный отвечающий всем критериям адекватности. ЛИТЕРАТУРА 1.Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико- математические модели: Учеб. пособие для вузов.- М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995.-136с. 2.Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ.-М.: ИНФРА-М, 1997.-402с. 3. Карлберг К. Бизнес-анализ с помощью Exel.: Пер. с англ.- К.: Диалектика, 1997.-448с. 4. Методическое пособие по выполнению компьютерного практикума по курсу "Социальное и экономическое прогнозирование"/ Воловиков С.А., Горячев Ю.В., Коновалов Д.М. -М.: "Союз" МСГУ, 1995.-27с. 5. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. - М.: ИНФРА -М, 1998.-528с. 2 12 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|