|
|
Приемы графического моделирования как средство формирования умения решать задачиСодержание ВЕДЕНИЕ 3 ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 8 ГЛАВА 2. 18 ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 18 2.1. Арифметическая задача. Виды арифметических задач. 18 2.2. Роль решения задач 20 2.3. Общие вопросы методики обучения решению простых задач 23 2.3.1. Подготовительная работа к решению задач 24 2.3.2. Классификация простых задач 25 2.3.3. Методика работы над простыми задачами, раскрывающими конкретный смысл арифметических действий 28 2.3.4. Формирование представления о задаче (в контексте изучения чисел в пределах 10). 32 2.3.5. Непосредственное решение задач с выделением отдельных частей задачи и записью решения (сразу все виды задач). 34 2.3.6. Виды работ над простыми задачами 35 2.4. Методика работы над составными задачами в первом классе 38 2.4.1. Ознакомление с решением составных задач. Подготовительная работа 39 2.4.2. Введение понятия "составная задача". 40 2.4.3. Использование чертежей и блок-схем при решении составных задач. 41 2.4.4. Приёмы, способствующие формированию умения решать составные задачи. 43 2.5. Методика работы над простыми задачами на умножение и деление 46 2.5.1. Подготовительная работа. 46 2.5.2. Решение задач, раскрывающих смысл умножения и деления. 47 2.5.3. Задачи на увеличение или уменьшение числа в несколько раз. 48 2.5.4. Задачи на кратное сравнение. 50 2.5.5. Задачи на движение. 52 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 57 ЛИТЕРАТУРА 60 ВЕДЕНИЕ Велико значение математики в повседневной жизни человека. Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений изучаются, начиная с начальных классов, а устный счет сейчас предлагается детям чуть ли не с пеленок. Арифметика возникла из повседневной практики, из жизненных нужд людей в их трудовой деятельности. Арифметика развивалась медленно и долго. В настоящее время в связи с дифференциацией процесса обучения, введением профильных образовательных систем актуальной становится проблема разработки соответствующих программ обучения. Существующие традиционные программы и учебники по математике для начальной школы перестали удовлетворять потребностям не только специализированной начальной школы, но и обычной системы начального образования. Содержание этих программ во многом устарело, оно не учитывает тех, безусловно, интересных эффективных наработок в области педагогики, психологии и частных методик, которые уже вошли в практику многих учителей. В связи с этим представляется необходимой разработка усовершенствованных вариантов традиционных программ по математике с учетом этих наработок. Как научить детей решать задачи? С психолого-методической точки зрения, по всей вероятности, необходимо организовать обучение с опорой на опыт дошкольников, на их предметно-действенное и наглядно-образное мышление, необходимо формировать и развивать у учеников математические понятия на основе содержательного обобщения уже известных фактов. Число математических понятий невелико. Школьный курс математики сводится к следующему: число, пространство, линия, поверхность, точка, функция, производная, вероятность, множество. Целенаправленная работа по формированию приемов умственной деятельности должна начинаться с первых уроков математики при изучении темы "Отношения равенства-неравенства величин". Действуя с различными предметами, пытаясь заменить один предмет другим, подходящим по заданному признаку, дети должны научиться выделять параметры вещей, являющиеся величинами, т.е. свойства, для которых можно установить отношения равно, неравно, больше, меньше. В контексте задачи дети знакомятся с длиной, массой, площадью, объемом. Полученные отношения моделируются сначала с помощью предметов, графически (отрезками), а затем - буквенными формулами. Наглядность задач необходима для их лучшего понимания, ощущения действительности и необходимости математики в повседневной жизни. Кроме графических моделей для лучшего усвоения учебного материала необходимо в уроки математики вводить элементы истории, и чем раньше дети узнают что такое математика, как появилось число, отрезок, деньги и т.д., тем быстрее будет происходить расширение умственного кругозора учащихся и повышение их общей культуры, повысится интерес к изучению математики, углубится понимание изучаемого фактического материала. В настоящее время широкое распространение получила система обучения разработанная под руководством Л.В.Занкова (далее в тексте - СОЗ). Главным стержнем этой системы является достижение максимального результата в общем развитии школьников. Под общим развитием в системе понимается развитие ума, воли, чувств, т.е. всех сторон психики ребенка. Забота об общем развитии детей в процессе обучения по любому предмету является одной из характерных особенностей системы. Вдумчивая и творческая работа учителей по системе показала, что при обучении математике открывается широкое поле деятельности для развития различных чувств - нравственных, эстетических, интеллектуальных. Ориентация процесса обучения на достижение высокого общего развития учащихся ведет к коренному пересмотру как общей линии в обучении математике, так и конкретных методических приемов, используемых в нем. При построении процесса обучения математике важнейшим в СОЗ считается вопрос о соотношении прямого и косвенного путей формирования знаний, умений и навыков, которые присутствуют в любой системе обучения. Первый из них заключается в использовании большого количества заданий или упражнений, предусматривающих формирование определенных знаний, умений и навыков по математике, которые выполняются на основе заданного образца или использования данного в готовом виде алгоритма решения, т.е. основным видом деятельности является репродуктивная деятельность. Такой путь нередко считается наиболее экономным, надежным при обучении математике. Косвенный путь во главу угла ставит продвижение в развитии школьников, что требует продуктивной деятельности детей, использования их творческого потенциала при выполнении предлагаемых заданий. Такой процесс обучения строится на основе самостоятельного добывания знаний школьниками, ведет их по пути открытий. Здесь имеют место рассуждения, предположения, рассмотрение разных точек зрения, отказ от предположений, выбор нового пути решения, и т.п., т.е. имеет место истинный диалог между учителем и учениками, между самими учащимися. Нередко такой путь рассматривается как тормозящий формирование навыка, но это не так. Хотя на первом этапе формирования затрачивается более длительный отрезок времени, в дальнейшем сформированный навык оказывается значительно более стойким и легко восстановимым, чем при использовании прямого пути. Системы обучения, ориентированные в первую очередь на приобретение суммы знаний, умений и навыков, в основном используют прямой путь обучения, как приводящий к достаточно быстрому достижению поставленной цели, косвенный же является вспомогательным и используется эпизодически, не оказывая существенного влияния. Аргинская И.И. считает, что в системе обучения, направленной на продвижение детей в общем, развитии, основным является косвенный путь, прямой путь не исключается, но и он приобретает иной вид, иной характер, т.к. не существует отдельно, а становится органической частью общего направления на творчество детей. Доктор педагогических наук П. Эрдниев и кандидат педагогических наук Б. Эрдниев предложили новую методическую систему укрупнения дидактических единиц (УДЕ). Президиум Академии педагогических наук СССР по предложению Министерства просвещения РСФСР провел решающий эксперимент по проверке эффективности УДЕ. В этих целях составленные программы и опытные учебники по математике для начальных классов испытывались в течение трех лет (1977-1980) в экспериментальной школе № 82 АПН СССР (пос. Черноголовка Ногинского района Московской области). Исследованием был охвачен 21 контрольный и экспериментальный класс (всего в этих классах было 745 учащихся). Сравнение показателей успешности усвоения знаний проводилось по текстам, подготовленным как руководителем исследования, так и Научно-исследовательским институтом содержания и методов обучения АПН СССР, а также Программно-методическим управлением Министерства просвещения РСФСР. В решении президиума АПН СССР от 28 VIII 1980 г. по итогам трехлетнего испытания программ и учебников была одобрена технология укрупнения знаний, а созданная методическая система была рекомендована к внедрению в школьную учебную практику. В постановлении президиума АПН СССР по итогам этого исследования было записано: "Подтверждена целесообразность применения в школе основных приемов укрупнения дидактических единиц (совместное изучение взаимосвязанных вопросов, составление обратных задач, деформированные упражнения)". Укрупненной дидактической единицей Эрдниевы называют систему родственных единиц учебного материала, в которой симметрия, противопоставления, упорядоченные изменения компонентов учебной информации в совокупности благоприятствуют возникновению единой логико-пространственной структуры знания. Знание, которым учащиеся овладевают посредством методической системы УДЕ, обладает качеством системности. В данной курсовой работе, выдвигая гипотезу, что приемы графического моделирования влияют на скорость формирования умения решать задачи, я постараюсь сделать следующее: Рассмотреть известные, но мало применяемые на практике графические модели, включить их в практическую работу с детьми; Овладеть приемами диагностики уровня сформированности умения у детей младшего школьного возраста решать задачи; Систематизировать приемы графического моделирования, учитывая опыт учителей начальной школы. Целью данной курсовой работы является разработка системы приемов графического моделирования. В работе планируется использовать различные учебные пособия для начальной школы, систему обучения, разработанную под руководством Л.В. Занкова, новые экспериментальные методики, хорошо зарекомендовавшие себя на практике (по публикациям в журнале "Начальная школа"), а также методику Эрдниева П. М. "Укрупненные дидактические единицы" и др. ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Математизация знаний в наше время совершает своеобразный победный марш. Многие области науки и практики, до самого последнего времени находившиеся вдали от использования математических методов исследования, теперь усиленно стремятся наверстать упущенное. Причина этого, конечно, заключается не в быстро преходящей моде, а в том, что чисто качественное изучение явлений природы, экономики, медицины, организации производства, управления процессами, как правило, оказывается недостаточным. Как можно автоматизировать процесс выработки серной кислоты, выплавки стали или крекинга нефти без знания точных количественных закономерностей этих процессов? Как можно заставить рационально работать систему связи, если не знать ни количественных закономерностей поступления вызовов от абонентов, ни длительности их разговоров? Как, наконец, можно произвести запуск ракеты для фотографирования обратной стороны Луны, если не знать ни законов обращения нашего спутника около Земли, ни законов механики для предварительного проведения всех расчетов в малейших деталях, которые обеспечили бы успешное выполнение этого задания? Математика превратилась в важнейшее орудие всего научно-технического прогресса. Вот почему математику широко используют при решении множества актуальных задач и можно с уверенностью прогнозировать дальнейшее расширение и углубление ее влияния на многие области теоретической и практической деятельности. Хорошо известно, что наши знания не только расширяются, но и становятся более точными и глубокими. Многое из того, что ранее было уже исследовано и для своего времени казалось хорошо познанным, в наше время требует новых усилий для приведения наших представлений о предмете исследования в соответствие с современными знаниями, требованиями практики и нашего постоянного стремления к более полному и совершенному знанию. "Познание есть вечное, бесконечное приближение мышления к объекту. Отражение природы в мысли человека надо понимать не "мертво", не "абстрактно", не без движения, не без противоречий, а в вечном процессе движения, возникновения противоречий и разрешения их"1. Это означает, что по мере того, как общественные требования к познанию определенных сторон окружающего нас мира возрастают, приходится тщательнее изучать интересующие нас аспекты действительности и тем самым раздвигать рамки того, что нам уже известно. А для этого приходятся привлекать новые средства исследования, если они уже имеются, или же настойчиво заниматься их поиском, созданием, или совершенствовать старые. Сейчас особенно повысилась роль изучения количественных связей между явлениями и количественно выраженных закономерностей. К этому понуждает нас сама жизнь, повседневная практическая деятельность. При этом нам следует постоянно помнить, что диалектический материализм практику понимает очень широко, включая в нее и требования науки. При современных скоростях протекания технологических процессов человеческая психика уже не способна ни следить за ходом процесса, ни своевременно принимать решение об изменении управления. Достаточно сказать, что стальная лента при прокате движется со скоростью, достигающей 150 км в час. При ручном управлении управляющее воздействие запаздывает, в результате чего общество терпит огромные убытки от потери качества, перерасхода исходных материалов, уменьшения производительности оборудования. Со всей остротой возникает необходимость передачи управления производственным процессом быстродействующим автоматам. Но автоматическое устройство само по себе не обладает способностью принимать решения, даже в том случае, когда оно обладает исчерпывающей информацией о ходе технологического процесса и условиях его протекания (температура, скорость, химический состав и пр.). Автомат "не понимает" указаний качественного характера типа "делай лучше", "измеряй точнее", "обрабатывай чище", для него необходима программа, в которой были бы предусмотрены его действия в любых возможных ситуациях. А для этого необходимо разработать количественную теорию процесса, которым управляют, и на ее базе создать программу действий автомата. Так, прогресс в развитии техники приводит к необходимости привлечения математики для решения сложных и весьма актуальных задач техники. Роль математики в развитии других наук и в практических областях деятельности полностью показать практически невозможно. Приступая к математическому решению практической задачи, мы неизбежно ее упрощаем и изучаем лишь приближенную ее схему, или, как сейчас принято говорить, ее математическую модель. По мере уточнения наших знаний и выяснения роли ранее не учитывавшихся факторов удается сделать математическое описание изучаемого процесса более полным. Процедуру уточнения нельзя ограничить, как нельзя ограничить развитие самого знания. Естественно, что при более полном описании интересующего нас явления нам приходится привлекать новые средства математического описания, новые понятия, использовать новые формулы. Смысл математизации знаний состоит в том, чтобы из точно сформулированных предпосылок выводить следствия, уже доступные наблюдению, сделать обозримыми сложные и запутанные реальные процессы, подмечать и формулировать присущие им количественные закономерности, чтобы указать экспериментатору, что же следует наблюдать. Математика не только позволяет давать количественное описание изучаемых явлений и прогнозировать их дальнейшее развитие, если только предложенная математическая модель удовлетворительна, но и дает указания, предписывает экспериментаторам, что следует наблюдать и какие эксперименты следует ставить. Математизация знаний состоит совсем не в том, чтобы исключить из процесса познания наблюдение и эксперимент, которые являются непременными составными частями полноценного и всестороннего изучения явлений окружающего нас мира. Эксперимент и наблюдение нужны не только для того, чтобы построить математическую модель явления, но и для того, чтобы проверить ее качество. Если математическая модель позволяет получить такие следствия, которые ранее не наблюдались, дает возможность предсказывать такие явления, о которых раньше не думали, и эти предсказания оправдываются, то теория укрепляет свое положение, и ее продолжают использовать для получения дальнейших выводов. Однако рано или поздно, поскольку математическая теория того или иного реального явления всегда приближенна, обязательно наступит момент, когда какое-то следствие теории не подтвердится практикой или экспериментом или же какой-то факт останется необъясненным теорией. В этом случае необходим пересмотр исходных предпосылок математической теории, изменение положений, которые раньше казались незыблемыми. Такой пересмотр приводит к новой теории, способной шире и глубже проникнуть в структуру изучаемых явлений. Рассмотрим такой пример. Явление распространения света давно привлекало к себе внимание исследователей. Для описания и объяснения наблюдающихся при этом фактов в разные времена были созданы различные математические модели, основанные на различных предположениях о его природе. В результате сейчас имеются такие модели: геометрическая (корпускулярная), волновая, электромагнитная. Геометрическая модель света была известна с глубокой древности. Но в ту пору были открыты только два факта: прямолинейное распространение (образование тени) и закон отражения в современной форме. Закон преломления света экспериментально был найден и сформулирован так, как мы его формулируем и теперь, двумя учеными - голландцем В. Снеллиусом (1580-1626) и французом Р. Декартом. Позднее П. Ферма предположил, что свет между двумя точками распространяется за кратчайшее время, причем в разных средах его скорости различны. Из этой гипотезы (математической модели) П. Ферма получил вывод, как закона отражения, так и закона преломления, и при этом удалось выяснить смысл коэффициента преломления. Однако уже в ту пору геометрическая модель распространения света удовлетворяла не всех ученых. Р. Гук (1635-1703), пожалуй, впервые предложил волновую модель распространения света. Эту идею значительно развил X. Гюйгенс (1629-1695), получив ряд важных следствий. В начале XIX в. работами А. Френеля (1788- 1827) и Т. Юнга (1773-1829) было установлено торжество волновой теории света. Математическая модель волновой теории позволила Юнгу объяснить явление интерференции света, а Френелю - явление дифракции. Позднее Д. К. Максвелл (1831-1879) предложил электромагнитную теорию света и с ее помощью выяснил, что свет должен оказывать давление на преграды. Экспериментальное установление этого эффекта, несмотря на многочисленные попытки ряда исследователей, удалось лишь П. Н. Лебедеву (1866-1912). Мы видим, что последовательное изменение представлений о природе света приводило к изменению математических моделей, используемых для изучения явлений, связанных с его распространением. Каждая модель имела строго ограниченную область применения, за пределами которой она уже не была способна объяснять наблюдаемые явления. Но одновременно заметим, что волновая модель открыла для наблюдений совершенно новые явления, которые не могли быть не только объяснены, но и предсказаны корпускулярной (геометрической) моделью. Модель явления не тождественна самому явлению, она дает лишь некоторое приближение к его пониманию. Эта модель может быть, на первый взгляд, и очень грубой и, тем не менее, давать вполне удовлетворительное приближение к действительности. Математическая модель является основой математически оформленной теории того или иного явления. Математическая модель перечисляет те свойства объекта, которые будут положены в основу его математической теории. Это еще не теория, а только перечисление тех предпосылок, на базе которых будет строиться теория. Созданию математической модели явления неизбежно предшествует длительное изучение его иными методами: наблюдение, специально организованные эксперименты, формулировка гипотез и получение выводов из них и т. д. Только когда количественная сторона явления достаточно хорошо изучена, можно приступать к построению математической модели, получению из нее выводов и сравнению их с реальным протеканием самого явления. Если это сравнение приводит к удовлетворительным результатам, то модель укрепляет свои позиции. Если же совпадение следствий, полученных из модели с действительностью, неудовлетворительно, то необходимо вносить в модель изменения, позволяющие приблизиться к описанию действительности. При этом стремятся не переусложнять модель, чтобы ее можно было подвергнуть всестороннему математическому и логическому анализу. Для того чтобы математическая модель работала, необходимо иметь точные понятия, которые позволяют однозначное описание в математических терминах всех состояний исследуемых процесса или явления. Создание математической модели состоит в том, что мы рассматриваем не само явление во всей его сложности, а упрощаем его, выделяя из всего многообразия присущих ему свойств лишь некоторые, по нашему представлению, наиболее существенные. Далее мы делаем предположения о действующих связях с окружающими предметами (если это необходимо) и четко перечисляем все исходные предпосылки. Хорошо известно, что для одного и того же явления можно предложить неограниченно много математических моделей. История оставила нам многочисленные примеры такого рода. Из множества возможных моделей мы выбираем лишь одну, которая нам представляется либо более соответствующей природе изучаемого явления, либо наиболее простой, либо по какому-то иному критерию. Создание математической модели -важный этап познания, поскольку, когда она уже создана, нам известно, из каких предпосылок мы выводим следствия. В ходе опытной проверки у нас появляется возможность исследовать соответствие каждой из предпосылок реальности. Модель в значительной степени предопределяет то, какими математическими средствами мы должны пользоваться при изучении интересующих нас вопросов. Нередко при этом случается, что в математике необходимых средств изучения еще нет и их нужно создавать заново. Математическая модель отражает в нашем сознании тот процесс, который мы изучаем. Этому отражению мы придаем количественные характеристики в соответствии с самим изучаемым процессом, с наблюдавшимися фактами, но не произвольно. Математическое моделирование в науке широко используется и тогда, когда о физической структуре явления известно очень мало. В этом случае строится гипотетическая модель и на ее основе выводятся следствия, уже доступные наблюдению. Понятно, что такие гипотетические модели зачастую не оправдываются опытом. В этом случае они живут недолго и быстро отмирают, уступив место другим моделям, позволяющим приблизиться к природе явления, Ценность гипотетических моделей неоспорима: они активизируют работу мысли, наводят экспериментаторов на постановку новых экспериментов, позволяют продвигаться по пути познания реального мира. История науки показывает, сколь большую роль сыграли научные гипотезы и построенные на их базе математические модели явлений. Вспомним хотя бы гипотезу строения Солнечной системы Коперника. Успехи использования математических методов в различных областях естествознания, техники, экономики, организации производства неоспоримы. С ними связано исключительно многое в научно-техническом прогрессе за последние триста лет, и особенно за последние десятилетия. Сейчас уже назрела пора серьезно заняться разработкой математических моделей обучения, воспитания, организации классной работы. Несомненно, что педагогические процессы сложны и требуют к себе исключительно тщательного и продуманного подхода. То обстоятельство, что до сих пор в педагогике математические методы еще не нашли широкого применения, в значительной мере связано как раз со сложностью рассматриваемых в ней проблем. Однако за эти вопросы пора приниматься всерьез, даже если на первых порах результаты будут не очень значительными. Теперь, когда неизмеримо возрос объем информации, которую нужно сообщить школьнику, особенно остро стоит вопрос о рационализации процесса обучения, включая сюда не только программу обучения, но и связи между предметами школьного курса, а также методику обучения. Выработка рациональной системы обучения, учитывающей исключительную изменчивость физического и психического состояния учащихся, требует соответствующих средств исследования. Совершенно ясно, что приемы графического моделирования как средство формирования умения решать задачи должны быть среди этих средств. Особенно существенны они при организации, проведении и обработке результатов педагогических экспериментов. Ни в одной области науки и деятельности нет таких сложностей при организации и проведении эксперимента, как в педагогике. В этих экспериментах существенную роль играют психологические особенности испытуемых (школьников) и испытывающих (преподавателей, исследователей), постоянная изменчивость объекта исследования, даже на протяжении короткого срока. И одновременно нигде так мало не занимаются теорией эксперимента, как в педагогике. Знание математической статистики должно быть обязательным. Необходимо учитывать многолетний опыт педагогов, внедрять в процесс обучения новые, более эффективные методы обучения, способствующие более быстрому усвоению учебного материала. В современной дидактике особая роль отводится тому, чтобы усвоение знаний осуществлялось на нескольких уровнях (кодах) одновременно. Такие приемы обучения, как переход от словесного правила к соответствующему рисунку или сравнение числового соотношения с буквенной формулой, эффективны потому, что здесь один метод (прием) обучения подкрепляет другой метод (прием) объяснения одного и того же знания. В основу составления учебных заданий для детей младшего школьного возраста должны быть положены идеи изменения, соответствия, правила и зависимости. Изучение условий перехода от неравенства величин к их равенству приводит к необходимости введения операций сложения и вычитания однородных величин и изучения их свойств. Таким образом, действия сложения и вычитания, а также их свойства вводятся еще в "дочисловом" периоде обучения на предметных и графических моделях. Изучение темы "Части и целое" помогает детям осознать взаимосвязь между сложением и вычитанием между компонентами и результатами этих действий. В настоящей работе предлагается вводить графическое моделирование не только для решения задач на движение, как это предусмотрено программой общеобразовательной школы, но и для первоначального ознакомления с числами, т.е. первоначально числа вводятся не в привычной для детей форме арабской нумерации: они имеют форму меток, знаков и лишь позже обозначаются арабскими цифрами. Это отделяет в понимании ребенка суть числа как отношения величин от знака, которым число обозначается - цифры. Для изучения принципа образования числового ряда и изучения его свойств строится числовой луч. В курсовой работе предусмотрена следующая логика обучения решению текстовых задач: вначале дети знакомятся с каким-нибудь предметным отношением, моделируют его, выделяют в нем математическую структуру, "открывают" свойство ее однозначности, на основе чего выводят из предметной ситуации все возможные виды текстовых задач. При этом буквенная символика используется раньше конкретно-числовой. Анализ условий готовых текстовых задач проводится на отрезочных схемах - моделях. Рассматривая признаки предметов, ставится задача непосредственного уравнения по длине, ширине, цвету, площади, объему, массе. Сравнение длин, площадей, объемов производится также с помощью предметного и графического моделирования отношений равенства и неравенства. На графических моделях формируется умение сравнивать предметы, расставлять знаки " = " , " > " , " < ", отрабатывается транзитивность отношения равенства. В свете высказанной гипотезы, большое внимание должно уделяться предметному, графическому и знаковому моделированию условия и решения текстовых задач, а также отношений " = " и " = ". ГЛАВА 2. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Арифметическая задача. Виды арифметических задач. В окружающей нас жизни возникает множество таких жизненных ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними,- это задачи. Например : 1) Юннатам выделили 15 саженцев яблони и 10 саженцев сливы. Сколько всего саженцев выделили юннатам? 2) Легковая машина была в пути 4 ч и шла со скоростью 56 км в час. Какое расстояние прошла машина? 3) В магазине продали два куска ситца. За первый кусок выручили 18 руб., а за второй в 2 раза больше. Сколько денег выручили за второй кусок? 4) Какое число надо вычесть из 12, чтобы получить 8? Рассмотрено несколько арифметических задач. Что общее у них? Прежде всего, каждая задача включает числа, данные и искомые. Числа в задаче характеризуют численности множеств или значения величин, выражают отношения или являются данными числами. Так, в задаче № 1 число 15 характеризует численность множества яблонь. В задаче № 2 число 56 является значением величины-длины. В задаче № 3 число 2 выражает отношение двух чисел: стоимости ситца во втором куске и в первом. В задаче №4 даны числа 12 и 8, которые являются соответственно уменьшаемым и разностью. Каждая задача имеет условие и вопрос. В условии задачи указываются связи между данными числами, а также между данными и искомым; эти связи и определяют выбор соответствующих арифметических действий. Вопрос указывает, какое число является искомым. Например, условие задачи № 2: "Легковая машина была в пути 4 ч и шла со скоростью 56 км в час", а вопрос: "Какое расстояние прошла машина?". Решить задачу-значит раскрыть связи между данными и искомым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнить .арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи. Рассмотрим решение приведенных задач. Условие задачи № 1 определяет операцию объединения множеств саженцев яблони и сливы. Вопрос задачи указывает, на требование найти численность объединения данных множеств. Операция объединения множеств связана с действием сложение данных чисел, которое надо выполнить для решения задачи: 15+10=25. Ответ на вопрос задачи: юннатам выдали 25 саженцев. Из условия задачи № 2 известны скорость машины и время ее движения. Требуется узнать расстояние, пройденное машиной. Используя связь, существующую между этими величинами, выполним решение: 56*4=224. Ответ на вопрос задачи: машина прошла 224 км. Для решения задачи № 3 используется знание смысла выражения "в два раза больше": 18*2=36. Ответ на вопрос задачи: второй кусок стоил 36 руб. Как видим, переход от жизненной ситуации к арифметическим действиям определяется в разных задачах различными связями между данными и искомым. Остановимся на вопросе о классификации задач. Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, связанных между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), называется составной. Простые задачи можно разделить на виды либо в зависимости от действий, с помощью которых они решаются (простые задачи, решаемые сложением, вычитанием, умножением, делением), либо в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении.(классификация простых задач будет рассмотрена ниже ) Для составных задач нет такого единого основания классификации, которое позволило бы с пользой для дела разделить их на определенные группы. Однако по методическим соображениям целесообразно выделить из всего многообразия задач некоторые группы, сходные либо математической структурой (например, задачи, в которых надо сумму разделить на число), либо способом решения (например, задачи, решаемые способом нахождения значения постоянной величины), либо конкретным содержанием (например, задачи, связанные с движением). В начальном курсе математики рассматриваются простые задачи и составные преимущественно в 2-4 действия. В близкой связи с арифметическими задачами находятся упражнения, которые называют задачи-вопросы. В задачах-вопросах, как и в собственно задачах, имеется условие (которое может включать числа, а может и не включать) и вопрос. Однако в отличие от задачи для решения задачи-вопроса достаточно установить соответствующие связи между данными и искомым, а арифметических действий выполнять не надо. Например: "Из двух поселков выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист, которые встретились через 36 мин. Сколько времени был в пути до встречи каждый?" Роль решения задач В общей системе обучения математике решение задач является одним из видов эффективных упражнений. Решение задач имеет чрезвычайно важное значение, прежде всего, для формирования у детей полноценных знаний, определяемых программой. Так, если мы хотим сформировать у школьников правильное понятие о сложении, необходимо, чтобы дети решили достаточное количество простых задач на нахождение суммы, практически выполняя каждый раз операцию объединения множеств без общих элементов. Например, предлагается задача: "У девочки было 4 цветных карандаша и 2 простых. Сколько всего карандашей было у девочки?" В соответствии с условием задачи дети раскладывают, например, 4 палочки, затем придвигают еще 2 палочки к 4 и считают, сколько всего палочек. Далее выясняется, что для решения задачи надо к 4 прибавить 2, получится 6. Выполняя многократно подобные упражнения, дети постепенно будут овладевать понятием о действии сложения. Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, ремонта квартиры, вычислить, в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд, и т. п. Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имеющихся у детей знаний играет исключительно важную роль и формировании у них элементов материалистического мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математические понятия (число, арифметические действия и др.) имеют корни в реальной жизни, в практике людей. Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Упражнения - это важнейший компонент учебного материала. В упражнении необходимо четко выделять содержательную характеристику, т.е. их соответствие с научным знанием. Главная дидактическая функция упражнений - закрепление знаний. Несмотря на устойчивое мнение, что для прочности усвоения учащийся должен выполнить возможно большее число однотипных упражнений, в последнее время появилась тенденция к уменьшению времени на операции, прочно усвоенные в начальной школе и к уделению большего внимания графическому моделированию. По всей вероятности графическое моделирование следует применять уже с первых дней обучения детей в школе как средство формирования умения решать задачи. Одним из мало используемых средств освоения знаний в школе служит способ матричного (табличного) представления знаний. Таблица упражнений "незаметным образом" (в пределах самого упражнения!) увеличивает время для освоения дополнительной структурной (не числовой) информации. Матрица представляет собой особый учебный прием, позволяющий обучающемуся проникнуть во внутреннюю взаимосвязь числовых и иных результатов. Простейшими матрицами являются четверки примеров на сложение и умножение, например: 3+2=5 5-2=3 2+3=5 5-3=2 3*2=... : 2=3 2*3=... : 3=2 Уже в первом классе поучительно познакомиться с графической моделью матрицы на нахождение суммы четырех слагаемых двумя способами (рис.1) Слева (черный) Справа (белый) Всего Сверху (большие) 2+1=3 Внизу (малые) 3+4=7 Всего 2+3=5 1+4=5 3+7=5+5= 10 - Рис. На основе данной матрицы проводится содержательная беседа с большой логической нагрузкой. Так, изображенные фигуры можно классифицировать двояко: в плане пропедевтики системы координат (слева - справа; вверху - внизу) и в плане сравнения по величине (большие - малые), по цвету (черные - белые). Концовкой такой беседы может быть, например, следующий диалог: "Сколько фигур слева? (5). Справа? (5). Сколько всего? (5+5=10). Сколько фигур в верхнем ряду? (3). В нижнем ряду? (7). Сколько всего? (7+3=10). Опять 10!". Для малыша такое явление сохранения суммы представляется удивительным. Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно "рисует" условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знание связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида. Общие вопросы методики обучения решению простых задач Научить детей решать задачи-значит научить их устанавливать связи между данными и искомым и в соответствии с этим выбирать, а затем и выполнять арифметические действия. Центральным звеном в умении решать задачи, которым должны овладеть учащиеся, является усвоение связей между данными и искомым. От того, насколько хорошо усвоены учащимися эти связи, зависит их умение решать задачи. Учитывая это, в начальных классах ведется работа над группами задач, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и искомым, а отличаются они конкретным содержанием и числовыми данными. Группы таких задач называются задачами одного вида. По мнению Бантовой М.А. [4]. работа над задачами не должна сводиться к натаскиванию учащихся на решение задач сначала одного вида, затем другого и т. д. Главная цель-научить детей осознанно устанавливать определенные связи между данными и искомым в разных жизненных ситуациях, предусматривая постепенное их усложнение. Чтобы добиться этого, учитель должен предусмотреть в методике обучения решению задач каждого вида такие ступени: 1) подготовительную работу к решению задач; 2) ознакомление с решением задач; 3) закрепление умения решать задачи. Рассмотрим подробнее методику работы на каждой из названных ступеней. Подготовительная работа к решению задач На этой первой ступени обучения решению задач того или другого вида должна быть создана у учащихся готовность к выбору арифметических действий при решении соответствующих задач: они должны усвоить знание тех связей, на основе которых выбираются арифметические действия, знание объектов и жизненных ситуаций, о которых говорится в задачах. До решения простых задач ученики усваивают знание следующих связей: 1) Связи операций над множествами с арифметическими действиями, т. е. конкретный смысл арифметических действий. Например, операция объединения непересекающихся множеств связана с действием сложения: если имеем 4 да 2 флажка, то, чтобы узнать, сколько всего флажков, надо к 4 прибавить 2. 2) Связи отношений "больше" и "меньше" (па несколько единиц и в несколько раз) с арифметическими действиями, т. е. конкретный смысл выражений "больше на . . . ", "больше в ... раз", "меньше на . . . ", "меньше в . . . раз". Например, больше на 2, это столько же. и еще 2, значит, чтобы получить на 2 больше, чем 5), надо к 5 прибавить 2. 3) Связи между компонентами и результатами арифметических действий, т. е. правила нахождения одного из компонентов арифметических действий по известным результату и другому компоненту. Например, если известна сумма и одно из слагаемых, то другое слагаемое находится действием вычитания: из суммы вычитают известное слагаемое. 4) Связи между данными величинами, находящимися в прямо или обратно пропорциональной зависимости, и соответствующими арифметическими действиями. Например, если известны цена и количество, то можно найти стоимость действием умножения. Кроме того, при ознакомлении с решением первых простых задач ученики должны усвоить понятия и термины, относящиеся к самой задаче и ее решению (задача, условие задачи, вопрос задачи, решение задачи, ответ на вопрос задачи). Классификация простых задач Простые задачи можно разделить на группы в соответствии с теми арифметическими действиями, которыми они решаются. Однако в методическом отношении удобнее другая классификация: деление задач на группы в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении. Можно выделить три такие группы. Охарактеризуем каждую из них. К первой группе относятся простые задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий. В этой группе пять задач: 1) Нахождение суммы двух чисел. Девочка вымыла 3 глубокие тарелки и 2 мелкие. Сколько всего тарелок вымыла девочка? 2) Нахождение остатка. Было 6 яблок. Два яблока съели. Сколько осталось? 3) Нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведения). В живом уголке жили кролики в трех клетках, по 2 кролика в каждой. Сколько всего кроликов в живом уголке? 4) Деление на равные части. У двух мальчиков было 8 конфет, у каждого поровну. Сколько конфет было у каждого мальчика? 5) Деление по содержанию. Каждая бригада школьников посадила по 12 деревьев, а всего они посадили 48 деревьев. Сколько бригад выполняли эту работу? Ко второй группе относятся простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся задачи на нахождение неизвестных компонентов. 1) Нахождение первого слагаемого по известным сумме и второму слагаемому. Девочка вымыла несколько глубоких тарелок и 2 мелкие, а всего она вымыла 5 тарелок. Сколько глубоких тарелок вымыла девочка? 2) Нахождение второго слагаемого по известным сумме и первому слагаемому. Девочка вымыла 3 глубокие тарелки и несколько мелких. Всего она вымыла 5 тарелок. Сколько мелких тарелок вымыла девочка? 3) Нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и разности. Дети сделали несколько скворечников. Когда 2 скворечника они повесили на дерево, то у них осталось еще 4 скворечника. Сколько скворечников сделали дети? 4) Нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности. Дети сделали 6 скворечников. Когда несколько скворечников они повесили на дерево, у них еще осталось 4 скворечника. Сколько скворечников дети повесили на дерево? 5) Нахождение первого множителя по известным произведению и второму множителю. Неизвестное число умножили на 8 и получили 32. Найти неизвестное число. 6) Нахождение второго множителя по известным произведению и первому множителю. 9 умножили на неизвестное число и получили 27. Найти неизвестное число. 7) Нахождение делимого по известным делителю и частному. Неизвестное число разделили на 9 и получили 4. Найти неизвестное число. 8) Нахождение делителя по известным делимому и частному. 24 разделили на неизвестное число и получили 6. Найти неизвестное число. К третьей группе относятся задачи, при решении которых раскрываются понятия разности и кратного отношения. К ним относятся простые задачи, связанные с понятием разности (6 видов), и простые задачи, связанные с понятием кратного отношения (6 видов). 1) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (I вид). Один дом построили за 10 недель, а другой за 8 недель. На сколько недель больше затратили на строительство первого дома? 2) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (II вид). Один дом построили за 10 недель, а другой за 8. На сколько недель меньше затратили на строительство второго дома? 3) Увеличение числа на несколько единиц (прямая форма). Один дом построили за 8 недель, а на строительство второго дома затратили на 2 недели больше. Сколько недель затратили на строительство второго дома? 4) Увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма). На строительство одного дома затратили 8 недель, это на 2 недели меньше, чем затрачено на строительство второго дома. Сколько недель затратили на строительство второго дома? 5) Уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма). На строительство одного дома затратили 10 недель, а другой построили на 2 недели быстрее. Сколько недель строили второй дом? 6) Уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма). На строительство одного дома затратили 10 недель, это на 2 недели больше, чем затрачено на строительство второго дома. Сколько недель строили второй дом? Задачи, связанные с понятием кратного отношения.(не приводя примеры) 1) Кратное сравнение чисел или нахождение кратного отношения двух чисел (I вид). (Во сколько раз больше?) 2) Кратное сравнение чисел или нахождение кратного отношения двух чисел (II вид). (Во сколько раз меньше?) 3) Увеличение числа в несколько раз (прямая форма). 4) Увеличение числа в несколько раз (косвенная форма). 5) Уменьшение числа в несколько раз (прямая форма). 6) Уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма). Здесь названы только основные виды простых задач. Однако они не исчерпывают всего многообразия задач. Порядок введения простых задач подчиняется содержанию программного материала. В I классе изучаются действия сложения и вычитания и в связи с этим рассматриваются простые задачи на сложение и вычитание. Во II классе в связи с изучением действий умножения и деления вводятся простые задачи, решаемые этими действиями. Методика работы над простыми задачами, раскрывающими конкретный смысл арифметических действий К задачам, раскрывающим конкретный смысл арифметических действий, относятся задачи на нахождение суммы, остатка, произведения, на деление по содержанию и на равные части. Задачи на нахождение суммы и остатка являются первыми задачами, с которыми встречаются дети, а поэтому работа над ними связана с дополнительными трудностями: здесь учащиеся знакомятся, собственно, с задачей и ее частями, а также овладевают некоторыми общими приемами работы над задачей. Задачи на нахождение суммы и остатка вводятся одновременно, поскольку одновременно вводятся действия сложения и вычитания; кроме того, в противопоставлении лучше формируется умение решать эти задачи. Подготовкой к решению задач на нахождение суммы и остатка является выполнение операций над множествами: объединение двух множеств без общих элементов и удаление части множества (эти термины детям не даются). Дети хорошо должны усвоить, что операция объединения множеств без общих элементов связана с действием сложения, а операция удаления из данного множества его подмножества - с действием вычитания. Задания по оперированию множествами следует включать в подготовительный период и в период изучения нумерации чисел первого десятка. По своей форме они не отличаются от задач, но выполняются чисто практически. Например, учитель читает задачу: "Мальчик вырезал 3 красных кружка и 1 голубой. Сколько всего кружков вырезал мальчик?" Дети выкладывают на партах сначала 3 красных кружка, затем 1 голубой; соединяют их вместе и находят число всех кружков путем счета. Выполнив с детьми несколько таких упражнений, учитель знакомит их с действием сложения: если получим 3 да 1 кружок, всего 4 кружка, то говорят: к 3 прибавить 1, получится 4; если получим 5 да 2 самолета, всего 7 самолетов, то говорят: к 5 прибавить 2, получится 7. После этого вводятся знаки "прибавить" (плюс), "получится" (равно) и запись на разрезных цифрах: 3+1=4. Важно, чтобы эти подготовительные упражнения включали разнообразные жизненные ситуации. Лавриненко Т.А. [14] предлагает следующую приемы предметного моделирования простых задач на сложение и вычитание: с дочислового периода начинать выполнять практические упражнения по всем видам задач, объясняя полученный результат и выборочно зарисовывать в тетради. Положите три красных кружка, а ниже положите 5 синих кружков. Сколько всего кружков вы положили? 3 8 5 Положите 6 квадратов, а теперь 2 уберите. Сколько осталось квадратов? 6 2 Положите три круга, а внизу положите на 2 квадрата больше. Сколько вы положили квадратов? Как вы выкладывали квадраты? 3 2 Положите 7 желтых треугольников, а внизу красных треугольников положите на 3 меньше, чем желтых. Сколько красных треугольников вы положили? Как догадались? 7 3 Положите 5 квадратов. Ниже положите 3 круга. Чего больше? На сколько больше? Как вы догадались? 5 3 После знакомства со знаками "+" и "- " необходимо продолжить выполнение практических упражнений, применяя графическое моделирование, вводя тексты задач и выбирая нужное действие. На ветке сидело 8 птичек (положите 8 палочек), 3 птички улетели (отодвинули 3 палочки). Сколько птичек осталось? Какое действие выберем? (Отодвинули, значит, "вычитание"). 8-3=5 (пт.) У Коли 5 машинок (положите 5 квадратиков), а у Сережи на две машинки меньше (выложите машинки Сережи кружочками.) Сколько машинок у Сережи? Какое действие выберем? Почему? (Мы закрыли два квадрата, а сколько осталось - столько выложили кружков. Убрали 2 квадрата, значит, выполнили действие "вычитание"). 5-2=3 (м.) 2 Учим правило "На меньше - делаем вычитание" У Кати 6 красных шаров (выкладываем 6 красных кружков) и 4 синих (выкладываем внизу 4 синих кружка). На сколько у Кати красных шаров больше, чем синих? Как найдем на сколько больше красных шаров? (Нужно из красных отодвинуть столько, сколько синих, узнаем на сколько больше красных шаров). Какое действие выберем? (Мы отодвинули шары, значит, действие "вычитание"). 6-4=2 (ш). ? Учим правило "Чтобы сравнить, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее". Итак, целенаправленная работа по формированию приемов умственной деятельности начинается с первых уроков математики при изучении темы "Отношения равенства-неравенства величин". Действуя с различными предметами, пытаясь заменить один предмет другим, подходящим по заданному признаку, дети выделяют параметры вещей, являющиеся величинами, т.е. свойства, для которых можно установить отношения равно, неравно, больше, меньше. В контексте задач дети знакомятся с длиной, массой, площадью, объемом. Полученные отношения моделируются сначала с помощью предметов, графически (отрезками), а затем - буквенными формулами. На первых же уроках нужно познакомить детей с прямой и кривой линией, а затем с понятием отрезка и научить чертить отрезки по линейке. Для этого можно выполнить упражнение следующего вида: в = + = - а б = - Формирование представления о задаче (в контексте изучения чисел в пределах 10). Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых задач формируется одно из центральных понятий начального курса математики-понятие об арифметических действиях и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит первое знакомство с задачей и ее составными частями. В связи с решением простых задач дети овладевают основными приемами работы над задачей. Поэтому учителю очень важно знать, как вести работу над простыми задачами каждого вида. Прежде всего, рассмотрим классификацию простых задач. Понятие о "задаче" вводится на конкретных примерах. Задача - это рассказ, но не любой, а в котором есть обязательно числа и вопрос. На этот вопрос можно ответить тогда, когда выполнишь какое-то арифметическое действие. Мама купила Кате апельсины, а папа купил бананы. Катя сказала им спасибо. (Это не задача, так как нет в этом рассказе ни чсел, ни вопроса.) Мама купила Кате 3 апельсина, а папа купил 2 банана. Катя сказала им спасибо.(В этом рассказе есть теперь числа, но нас ни о чем не спрашивают, т.е. в этом рассказе нет вопроса, а значит, это не задача.) Мама купила Кате 3 апельсина, а папа купил 2 банана. Сколько всего фруктов купили Кате родители? (В этом рассказе есть числа и есть вопрос - вот теперь это задача.) На других примерах дети сами определяют, задача это или нет. Если нет, то поясняют почему и превращают в задачу, дополняя то, чего не хватает. После того как дети хорошо разберутся в понятии "задача", можно учить их составлять задачи по картинкам, причем все виды задач. Здесь полезно применять чертежи и схематические рисунки, блок-схемы, моделирование с помощью отрезков, таблиц и матриц. Графические модели и таблицы позволяют сравнивать пары понятий: левая - правая, верхняя - нижняя, увязывать пространственную информацию (правая - левая) с информацией меры (широкая - узкая, короткая - длинная) тем самым формируя умение решать задачи. Примером может служить таблица (рис.2) Короткая (левая) Длинная (правая) Широкая (верхняя) Узкая (нижняя) Рис. В беседе со школьниками по этой матрице следует задавать противопо-ложные по содержанию вопросы. Вопрос: какая лента нарисована в правой нижней клетке? Ответ: длинная и узкая. Вопрос: где нарисована короткая и широкая лента? Ответ: в левой верхней клетке. Табличные примеры удобны для быстрого решения примеров, информационно связанных друг с другом (рис.3). Так, например, заполняя клетки таблицы, школьники должы обратить внимание на совпадение парных сумм, например: 35+47=45+37=82. А + В А В 43 45 47 49 33 35 37 39 - Рис. Ученик должен объяснить, почему получились равные суммы. Равные суммы в таблице отмечены общим знаком. Непосредственное решение задач с выделением отдельных частей задачи и записью решения (сразу все виды задач). а) Для краткой записи задач будем использовать чертежи, которые выглядят так: Ни в коем случае не нужно чертить отрезок длиной 5 клеточек, если "сидело 5 птичек", а просто большее число чертится большим отрезком, а меньшее число меньшим отрезком. После того, как дети выучили все буквы, можно записывать отдельные слова или буквы. б) Кроме чертежей для краткой записи задачи можно использовать схематические рисунки в виде моделей (и чертежи, и рисунки дети первое время изображают в черновиках). Дети сами придумывают разные виды моделей к зарисовке задач. в) Необходимо научить детей представлять то, о чём говорится в задаче. Для этого на первых порах нужно увидеть (как по телевизору) зайчиков, которые бегают по полянке, или яблоки, которые мама положила в вазу и т. п. г) С помощью опорных слов дети пока не смогут записывать задачи, так как им очень трудно выбрать главные слова из текста, но учитель должен использовать такую запись (вывешивая её на доске) для устного составления и решения задач. Многократное использование таких записей учителем приведет к тому, что впоследствии дети смогут сами оформлять запись задач. Виды работ над простыми задачами а) Составить задачу: по картинке, по чертежу, по схематическому рисунку, по краткой записи опорными словами, по решению. б) Составить к данному условию вопрос или к вопросу условие. в) Изменить вопрос (или условие) так, чтобы задача решалась другим действием. г) Читаются задачи, а дети показывают знаки "+" или "-" д) Читаются задачи, а дети показывают только ответ (или записывают). е) Читаются задачи, а дети записывают только решение. ё) Решение задач в сравнении (одна решается письменно, другая устно, или ручкой другого цвета вносим изменения в краткую запись задачи, а ниже этим же цветом записываем решение новой задачи). - Саша поймал 4 рыбки, а Миша 3. На сколько больше поймал рыбок Саша? - Саша поймал 4 рыбки, а Миша 3. Сколько всего рыбок поймали мальчики? - В саду росло 6 кустов малины, а смородины на 3 куста больше (меньше). Сколько кустов смородины росло в саду? ж) Решение задач с недостающими и лишними данными. Задачи такого вида приучают детей внимательнее анализировать содержание. - Серёжа решил 7 примеров, а Ира решила больше примеров, чем Серёжа. Сколько примеров решила Ира? - У Светы было 3 конфеты "Красная шапочка", 2 конфеты "Мишка на Севере" и 5 конфет "Клубника со сливками". Сколько всего шоколадных конфет было у Светы? з) Решение "задач-вопросов". Нужно как можно больше решать таких задач, так как они являются подготовкой к решению задач основного типа. Если известно сколько шаров у Кати и известно на сколько больше шаров у Тани, то что можно найти? Чтобы найти сколько птиц осталось сидеть на ветке, что нужно знать? Если известно сколько машин уехало и известно сколько осталось то что можно найти? Чтобы узнать на сколько больше красных шаров, чем синих, что нужно, знать? Если известно сколько мама купила капусты и сколько моркови, то что можно найти? Чтобы найти сколько пирожков лежало на тарелке сначала, что нужно знать? и) Классификация задач (разделить задачи на группы по какому-то признаку или просто найти похожие задачи). Разбейте эти задачи на 2 группы по сходству решения. Стояло -8м. Ёлок - 5 шт. Испекла - 9 п. Белок - 4 шт. Было - 8 иг. Уехало - ? м. Лип - 2 шт. Съели - ? Зайцев - 3 шт Отдали - ? иг. Осталось -Зм. Сколько всего? Осталось - 2 п. Всего - ?шт. Осталось - 6 иг. - Чем похожи эти задачи? Во дворе играли 3 мальчика, а девочек на 2 больше. Сколько девочек играло во дворе? Вова поймал 7 карасей, а Денис поймал на 3 карася больше. Сколько карасей поймал Денис? На одной полке лежало 5 книг, а на другой на 4 книги больше. Сколько книг лежало на второй полке? - Придумайте задачи, похожие на эту, но с другим содержанием. Марина нарисовала тюльпаны. 4 тюльпана она раскрасила, а 5 тюльпанов ей ещё осталось раскрасить. Сколько она нарисовала тюльпанов? к) Решение задач с неопределёнными данными. л) Решение логических задач. - Пришли 3 футболиста и 3 хоккеиста, а всего 5 человек. Может ли такое быть? В коробке умещается 10 красных бусинок или 6 зелёных. Какие бусинки меньше: красные или зелёные? В учебнике математики для 1 класса Эрдниева сделан акцент на обогащение числовых соотношений с помощью соответствующих рисунков. Так, например, при изучении числа 4 дети знакомятся с названиями четырех сторон света (север - юг, восток - запад), ри изучении числа 7 - с названиями семи цветов радуги, семи дней недели, названий семи нот и т.п. Характерной методической особенностью является также использование таких рисунков, в которых сравниваются длины отрезков (рис.4). Так, на основе рисунка учащиеся рассказывают всю известную им "математику в переделах 6": если к 4 прибавить 2 - получится 6; если от 6 отнять 2 - получится 4; 6 больше 4 на 2; 4 меньше 6 на 2; 4 увеличить на 2 - получится 6; 6 уменьшить на 2 - получится 4; 6 больше 4 на 2 и .т.д. Овладение содержанием данного комплекса суждений становится возможным благодаря подсознательному сравнению учеником чисел на основе зрительного сопоставления длины двух отрезков. При монографическом изучении числа рассматриваются совместно все возможные случаи сложения и разложения данного числа на два слагаемых. Запись всех этих случаев на основе одного рисунка и зрительный анализ такого сложного рисунка помогают усвоению изучаемой темы. рис. Методика работы над составными задачами в первом классе При решении составных задач ученики должны уметь устанавливать не одну связь, а систему связей, т. е. устанавливать несколько связей, выстраивая их в определенном порядке. Например, при решении задачи: "За 4 карандаша уплатили 12 коп. Сколько надо уплатить за 6 таких карандашей?"- устанавливают такую систему связей: если известны стоимость и количество карандашей, то можно найти их цену действием деления; зная цену и количество карандашей, можно узнать их стоимость действием умножения. Следовательно, подготовкой к решению составных задач будет не только усвоение учащимися соответствующих связей, но и умение вычленять систему связей, иначе говоря, разбивать составную задачу на ряд простых, последовательное решение которых и будет решением составной задачи. Важно на подготовительной ступени знакомить детей с объектами, о которых говорится в задачах (например, с величинами), а также с соответствующими ситуациями, описанными в задачах (например, с движением автомашин, поездов и т. п. в одном направлении или в противоположных направлениях), организуя специальные наблюдения жизненных ситуаций. Вся подготовительная работа сводится к выполнению учащимися специальных упражнений, помогающих усвоить им знание названных связей и ознакомиться с объектами и жизненными ситуациями, отраженными в задачах. При работе над каждым отдельным видом задач требуется своя специальная подготовительная работа. Ознакомление с решением составных задач. Подготовительная работа а) Решение "задач-цепочек". У Димы было 5 красных машин и 3 зелёные машины. Сколько всего машин было у Димы? У Димы было 8 машин, 2 машины он подарил другу. Сколько машин у него осталось? В вазе лежало 4 яблока, а груш на 2 больше. Сколько груш лежало в вазе? В вазе лежало 4 яблока и 6 груш. Сколько всего яблок и груш лежало в вазе? (Вторая задача является продолжением первой.) б) Решение задач с недостающими данными. В этих задачах нельзя ответить на вопрос задачи, так как неизвестно одно данное, точно так же как и в составных задачах. в) Решение "задач-вопросов". Чтобы найти сколько грибов было в двух корзинах, что нужно знать? Чтобы найти сколько птиц осталось сидеть на ветке, что нужно знать? г) Решение задач с неопределёнными данными. д) Знакомство со скобками необходимо, так как будем решать задачи, составляя выражение. Введение понятия "составная задача". К этой теме можно переходить лишь тогда, когда научили детей хорошо решать все виды простых задач. Составьте и решите эти задачи (устно). Есть ли что-то общее в этих задачах? (Вторая является продолжением первой.) Давайте составим из двух задач одну (один рассказ). Возьмём условие первой задачи, а вопрос от второй задачи (фигурная скобка из второй задачи переносится к первой). Дети составляют текст задачи. Эта задача называется составной. Почему? Кто догадался? (Её составили из двух задач.) - Попробуем её решить. Можно ли сразу ответить на главный вопрос задачи, т. е. найти сколько всего ромашек и васильков было в букете (указкой показываем на "5" и на "?"), или пока нам что-то неизвестно? (Нам пока неизвестно сколько было васильков.) - А можно ли найти сколько было васильков? - Теперь мы знаем сколько было ромашек и сколько было васильков. Сможем ли мы теперь ответить на главный вопрос задачи (всё показываем по краткой записи)? - Посмотрите, как будем записывать решение такой задачи: 1) 5 + 2 = 7 (шт.) - васильков. 2) 5 + 7 = 12 (шт.) - всего цветов. Ответ. 12 цветов было в букете. Сравните решение этой задачи с решением тех задач, из которых мы её составили. Что вы заметили? (Первое действие - это решение первой задачи, а второе действие - это решение второй задачи.)- Чем же будут отличаться новые задачи от тех, которые мы решали раньше? (Они будут решаться в два действия.) Да, дети. В составных задачах сразу нельзя ответить на главный вопрос задачи. Эти задачи можно записать опорными словами или с помощью чертежа. Использование чертежей и блок-схем при решении составных задач. Одним из высокодейственных способов осмысления изучаемого материала являются графические модели задач, которые позволяют быстрее разобраться в смысле математического текста, проанализировать его и выделить необходимые для решения задачи математические действия. Задача. На стадионе у школы учащиеся в первый день расчистили 25 м беговой дорожки, во второй день на 6 м меньше, чем в первый день, а в третий день - на 3 м больше, чем во второй. Сколько метров дорожки расчистили учащиеся за 3 дня? Проводим анализ решения задачи, вычерчивая блок-схему решения. Поднимаясь снизу вверх, записываем решение задачи по действиям или выражением. 1) 25 - 6 = 19 (м) - во II день. 2)19 +3 = 22 (м) - в III день. 3) 25 +19 + 22 = 66 (м) - всего. Задача. Во дворе играли 8 мальчиков и 6 девочек, из них 7 детей были школьниками. Сколько детей пока ещё не ходят в школу? Выполнив соответствующую подготовительную работу, можно перейти к ознакомлению детей с решением задач рассматриваемого вида. На этой второй ступени обучения решению задач дети учатся устанавливать связи между данными и искомым и на этой основе выбирать арифметические действия, т. е. они учатся переходить от конкретной ситуации, выраженной в задаче, к выбору соответствующего арифметического действия. В результате такой работы учащиеся знакомятся со способом решения задач рассматриваемого вида. В методике работы на этой ступени выделяются следующие этапы: I этап-ознакомление с содержанием задачи; II этап-поиск решения задачи; III этап-выполнение решения задачи; IV этап-проверка решения задачи. Выделенные этапы органически связаны между собой, и работа на каждом этапе ведется на этой ступени преимущественно под руководством учителя. Приёмы, способствующие формированию умения решать составные задачи. а) Из двух простых задач составить одну задачу. б) Из одной составной выделить несколько простых задач. в) К условию придумать вопрос, чтобы задача решалась в одно (два) действия. г) К вопросу придумать условие, чтобы задача решалась в одно (два) действия. д) Составление задач по рисунку, схеме, чертежу, решению. е) Решение задач в сравнении. Наташа взяла в библиотеке 17 книг. 9 книг она уже прочитала. Сколько книг ей осталось прочитать? Наташа взяла в библиотеке 10 сказок и 7 книг о животных. 9 книг она уже прочитала. Сколько книг ей осталось прочитать? На полянке росло 3 подосиновика и 2 груздя. Сколько всего грибов росло на полянке? На полянке росло 3 подосиновика, а груздей на 2 больше. Сколько всего грибов росло на полянке? ё) Решение задач различными способами. В детском саду было 15 кукол, машин на 8 больше, чем кукол, а мячей на 6 меньше, чем машин. Сколько мячей было в детском саду? I способ. 1) 15 + 8 = 23 (шт.) - машин. 2) 23 - 6 = 17 (шт.) - мячей. II способ. 1) 8 - 6=2 (шт.) - больше мячей, чем кукол. 2) 15 + 2 = 17 (шт.) - мячей. ж) Работа по классификации задач: составьте задачу, похожую на данную, но с другим содержанием; найдите среди этих задач похожие по решению; разбейте данные задачи на 2 (3) группы по сходству решения. з) Работа с текстом задачи. В буфете было 80 пирожков. На перемене одному классу продали 16 пирожков, а другому 19. Сколько пирожков осталось в буфете? 80 п. 16 п. 19 п. ? Измените вопрос или условие задачи, чтобы число действий увеличилось. (На сколько больше пирожков осталось, чем продали? Одному классу продали 16 пирожков, а другому на 3 пирожка больше. Одному классу продали 6 пирожков с мясом и 10 пирожков с капустой, а другому 8 пирожков с мясом и 11 с капустой.) Задача. Мама принесла домой яблоки, груши и апельсины - всего 10 штук. Яблок было 4. Сколько было груш? Можно ли найти ответ? Измени условие так, чтобы задачу можно было решить в 1 действие (в 2 действия, в 3 действия). Измени вопрос у данной задачи так, чтобы её можно было решить. и) Решение задач с неопределёнными данными. к) Решение задач с недостающими и лишними данными. В "зоопарке" живут 20 кроликов, а кур - на 12 меньше, чем голубей. Сколько зверей и птиц в этом зооуголке? Измени условие или вопрос так, чтобы можно было решить эту задачу. На трёх полках стояли книги. На первой полке было 11 книг, а на второй полке на 15 книг больше. Сколько книг стояло на трёх полках? Можно ли решить эту задачу? Измените условие так, чтобы можно было решить эту задачу. Поставьте вопросы к первоначальному условию, чтобы задачу можно было решить в одно действие (в 2 действия). На уроках труда дети делали игрушки. Они сделали 10 зайчиков и 6 медвежат. Детскому саду они подарили 7 игрушек. На сколько больше дети сделали зайчиков, чем медвежат? Все ли данные нужны для решения этой задачи? Измените условие, исключив лишние данные. Измените вопрос так, чтобы все данные были нужны для решения задачи. л) Решение логических задач. Один сосуд З-х-литровый, а другой 5-и литровый. Как с помощью этих сосудов налить в кувшин 4 л воды из водопроводного крана? На ветке сидело 5 синиц и 8 воробьев, 6 птиц улетело, Улетел ли хоть один воробей? В следующей задаче без графической модели просто не обойтись: Ребята стали спрашивать друг друга сколько кому лет. Оказалось, что Митя младше Вани, но старше Пети. Ваня младше Бори, а Денис младше Пети. Кто из ребят старше всех? Кто младше всех? Методика работы над простыми задачами на умножение и деление Подготовительная работа. а) Для того, чтобы дети хорошо разобрались в смысле команд возьмите по ..., разложите по ..., разложите на ..., необходимо выполнить много практических упражнений с индивидуальным счётным материалом. - Возьмите по 3 палочки 4 раза (выкладывают на партах). Сколько всего палочек вы взяли? - Разложите 12 палочек по 3 палочки. Сколько кучек получилось? (Выясняем, как раскладывали.) - Разложите 12 палочек на 3 равные части. Сколько палочек в каждой кучке? (Выясняем, как раскладывали.) б) Затем решаем задачи (даётся текст задачи) практическим путём (используем счётные палочки или зарисовываем схематические рисунки), решение пока не записываем, так как пока не вводили действий "умножение" и "деление". - По 4 яблока положили в 3 тарелки. Сколько всего яблок положили? (Можно использовать действие сложение.) Ответ. 12 яблок. - 6 тетрадей раздали 3 детям поровну. Сколько тетрадей дали каждому? (Зарисовываем по одному.) Ответ. 2 тетради. - 8 кусочков сахара разложили по 2 в каждый стакан. Во сколько стаканов положили сахар? Ответ. В 4 стакана. Решение задач, раскрывающих смысл умножения и деления. После знакомства с умножением и делением задачи решаются с помощью схематических рисунков и обязательно в сравнении. Мама подоила Зорьку и молоко разлила в 5 банок, по 2 литра в каждую. Сколько литров молока дала Зорька? По 2 л взяли 5 раз. Какое это действие? 5 • 2 = 10 (л) Мама разлила 10 л молока, по 2 л в каждую банку. Сколько банок мама заполнила молоком? 10 литров мы делим по 2 л в каждую банку. Какое это будет действие? 10 : 2 = 5 (б.) Это решение так и будем читать: "10 разделим по 2". Чем похожи и чем отличаются эти задачи? (Числа одинаковые, в обеих задачах слово "разлила", а действия разные.) 12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке? (Раскладываем по одному.) 12 : 3 = 4 (кар.) - решение так и читаем: "разделить 12 на З". 12 карандашей разложили по 3 в каждую коробку. Сколько коробок получилось? 12 : 3 = 4 (кор.) - решение так и читаем: "12 разделили по З". Сравните эти задачи. Чем они похожи и чем отличаются? После того, как дети выучили таблицу умножения и деления, задачи нужно записывать с помощью опорных слов или моделей. 5 маш. - 1 ряд 20 маш. - ? рядов 20 : 5=4 ...? рядов (по) Задачи на увеличение или уменьшение числа в несколько раз. Знакомство с понятием "в раз больше". Нарисуйте кружков на 2 больше. На 2 ? 3+2=5 Нарисуем кружков в 2 раза больше. "В два раза больше - это 2 раза по столько же." В 2 раза ? 3*2=6 Какое выполнили действие? Первые задачи решаются с помощью схематического рисунка, а затем с помощью чертежа или модели. Задача. У Дениса было 3 тетради в клетку, а в линию в 4 раза больше. Сколько тетрадей в линию было у Дениса? Знакомство с понятием "в раз меньше". Нужно нарисовать кружков в 3 раза меньше, значит квадратов в три раза больше, т.е. их 3 раза по столько же, сколько нужно нарисовать кружков. Разделим квадраты на 3 равные части. Первые задачи решаются с помощью схематического рисунка, а затем с помощью модели или опорных слов. Задача. На клумбе росло 18 красных роз, а белых в 3 раза меньше. Сколько белых роз росло на клумбе К. Б. Вывешивается опорная схема. Задачи обязательно решаются в сравнении. I ваза - 6 шт. I ваза - 6 шт. II ваза - ?, на 2 шт. >. II ваза - ?, в 2 раза >. I ваза - 6 шт. II ваза - ?, в 2 раза <. Задачи на кратное сравнение. Разделим квадраты по 3, т. е. по столько, сколько кружков. Теперь мы видим, что квадратов в 2 раза больше, чем кружков, а кружков в 2 раза меньше, чем квадратов. Какое же действие нужно сделать, чтобы узнать во сколько раз одно число больше другого? (Что мы делали с квадратами?) Вывешивается опорная схема. Задачи обязательно решаются в сравнении. Утят - 4 шт. На ? >. 8-4=4 (шт.) Цыплят - 8 шт. Утят - 4 шт. Во ? раз >. 8:4=2 (раза) Цыплят - 8 шт. Методика работы над задачами на взаимосвязь между величинами Сначала вводятся задачи на "цену-количество-стоимость", так как они более понятны детям, а затем другие виды задач. Первые задачи каждого вида решаются на основе жизненных представлений, следующие - на основе выученных правил.) Задачи на нахождение четвёртого пропорционального. В этих задачах нужно пояснить что значит "таких же" (одинаковая цена, масса). Первая задача решается с опорой на наглядность, а следующие с помощью схематического рисунка или чертежа. Мама купила 4 красных шара за 12 рублей и 6 таких же синих шаров. Сколько она заплатила за синие шары? Анализ решения: Можно ли сразу найти, сколько мама заплатила за синие шары? (Нет, так как неизвестна цена шара.) А что известно о синих шарах? (Что они такие же, как и красные.) Что значит "такие же"? (Цена красных и синих шаров одинакова.) Посмотрим на красные шары. Можно ли найти цену шара? (Да, мы стоимость разделим на количество.) Если цена шара будет известна, то сможем ли мы найти сколько стоят синие шары? (Да, нужно цену умножить на количество синих шаров.) Задача. Школьники собрали 3 ящика помидоров, масса которых 18 кг, и 5 таких же ящиков с огурцами. Найти массу огурцов. Задача. На склад привезли 40 кг яблок в 5й одинаковых ящиках. 3 ящика отправили в детский сад. Сколько килограммов яблок отправили в детский сад? Можно использовать и такую форму краткой записи этого вида задач. Цена Количество Стоимость 1 д. одинаковая 8 п. 32р. 11д. 6 п. ?р. Или За 8 портфелей - 32 р. За 6 портфелей - ? р. Задачи на движение. На подготовительном этапе на основе движущихся моделей дети должны уяснить что значит двигаться навстречу друг другу и в противоположных направлениях. Необходимо познакомить детей с элементами чертежей к задачам на движение и научить их вычерчивать по условию задачи. 24 м ?, на 8 м < ? м После такого предварительного знакомства вводится понятие "скорость". Беседа начинается с того, что есть предметы движущиеся и не движущиеся (дети приводят примеры). Опираясь на жизненный опыт детей, выясняем, что одни предметы движутся быстрее, другие медленнее. Открываем таблицу на доске: Пешеход - 5 км за 1 час 5 км/ч Автомобиль - 80 км за 1 час 80 км/ч Ракета - 6 км за 1 сек. 6 км/с Черепаха - 5 м за 1 мин. 5 м/мин 1. В этом случае говорят, что скорость пешехода 5 км в час (показываем запись 5 км/ч) и т. д. Скорость движения - это расстояние, которое проходит движущийся предмет за единицу времени (за 1 час, за 1 минуту, за 1 секунду). - Проверим, как вы меня поняли. Скорость поезда 70 км/ч. Что это означает? (Поезд проезжает 70 км за 1 час.) - Скорость мухи - 5 м/с - ? - Скорость африканского страуса - 120 км/ч - ? Задача. Велосипедист был в пути 3 ч и проехал за это время 36 км. В течение каждого часа он проезжал одинаковое расстояние. Сколько километров проезжал велосипедист в каждый час? 36 ч Пояснить, что чёрточки означают количество часов. 36 : 3 = 12 (?) Мы нашли, сколько километров проезжал велосипедист за каждый час, т. е. за 1 час или за единицу времени. Что же это за величина? (Скорость.) Как обозначим единицу измерения скорости? (км/ч) 36 : 3 = 12 (км/ч) V = S : t скор .расст. вр. Вывешивается формула и заучивается правило. На следующих уроках вводятся два других правила. После того, как дети выучат правила, задачи решаются в два и более действия; используется краткая запись в виде чертежа или таблицы. Необходимо познакомить детей с понятием "общей скорости" (скорость сближения или удаления) и пояснить, что использование понятия "общая скорость" упрощает решение задач. рис. 60 + 80 = 140 (км/ч) - общая скорость. На 140 км сблизятся машины за 1 час. рис. На 140 км удалились машины друг от друга за 1 час. Чтобы дети уяснили решение задач через "общую скорость", нужно первые задачи разобрать от данных к вопросу. - Известно "общее" расстояние 390 км и известно время - 3 ч. Что можно найти, зная расстояние и время? - Если дано "общее" расстояние, то какую скорость мы найдём? (Найдём общую скорость.) - Теперь, зная "общую скорость" и скорость первого автомобиля, что можно найти? (Скорость второго автомобиля.) - Ответили мы на вопрос задачи? (Да.) Весьма поучительно решение следующей четверки задач, исчерпывающих все возможные комбинации направлений движения двух тел относительно друг друга (рис.7). Вопрос для всех задач общий: через сколько секунд А и В окажутся рядом? Итак, дана задача: "Между двумя точками А и В имеются две дороги, длинная - 160 м и короткая - 80 м. Из этих точек движутся два велосипедиста со скоростями 5 и 3 м в секунду. Через сколько секунд они окажутся рядом? (Рассмотреть все возможные случаи.)" рис. Решение задачи удобно изобразить в матрице с двумя входами. Подобная четверка задач позволяет рассмотреть исчерпывающим образом математическую ситуацию, перебирая все возможные сочетания направлений движения двух тел. При таком оформлении четверки задач информация о направлении движения передается на нескольких кодах: по горизонтальному входу матрицы показаны скорости велосипедиста А, по вертикальному входу матрицы показаны скорости велосипедиста В. Эти же скорости изображены и на самих рисунках в матрице. По этой схеме удобно проводить обучающую беседу, позволяющую добыть дополнительную информацию об изучаемом. Вопрос. В каких клетках изображено движение в противоположных направлениях (навстречу")? Ответ. Движение "навстречу" изображено в клетках правой диагонали (I и IV). Вопрос. В каких клетках изображено движение в одном направлении ("вдогонку")? Ответ. Движение вдогонку изображено в клетках левой диагонали (11 и III). Вопрос. Сравните задачи (II и III). В каком случае быстрее нагонит один велосипедист другого? Почему? Ответ. В первом случае, так как в этом случае первоначальное расстояние между велосипедистами - 80 м. во втором случае - больше (160 м). Мы описали беседу, основанную на качественных сравнениях: (1-11), (IV-III), (I-IV). Однако в таком анализе можно пойти значительно дальше, проникая в глубинные связи, которые при обычной практике обучения на основе одинарных задач являются для мышления школьника недоступными. В процессе дополнительного обсуждения можно извлечь новые сведения. Вопрос. Какова скорость сближения велосипедистов в (11) и (III) случаях? Ответ. Скорости сближения равные, так как в обоих случаях движение совершается вдогонку. Скорость сближения здесь равна 5+3=8 (м) за каждую секунду Вопрос. Через сколько секунд произойдет первая встреча в первой и четвертой задачах? Ответ. 80:2=40 (с); 160:2=80 (с). Вопрос. Через сколько секунд будут происходить последующие встречи? Через различное время или одно и то же время? Почему? Ответ. После первой встречи условия задач оказываются одинаковыми: в обоих случаях быстрейший должен нагнать медленного велосипедиста через (160+80):2=120 (с). Вопрос. Почему же здесь расстояние выросло до 160+80=240 (м)? Ответ. Потому что между данными двумя велосипедистами в момент встречи расстояние равно нулю (0 метров). Однако при дальнейшем движении между быстрейшим и медленным оказывается весь круговой путь (160+80=240). Вопрос. Через сколько секунд будут происходить последующие встречи в 1 и IV задачах? Ответ. (160+80): (5+3)= =240:8=30 (с). Мы видим, что решение сматрицированной задачи, состоящей из четырех попарно связанных случаев, становится особым видом укрупненного упражнения, т. е. некоторым сочинением на математическую тему "Задачи на движение". ЗАКЛЮЧЕНИЕ Будет написано после утверждения основной части и проведения практической работы (на основе 2 Главы). Можно рассмотреть также задачи на доли и логические; контрольную работу для практики. Желательно с замечаниями и пожеланиями не тянуть. ЛИТЕРАТУРА Аргинская И.И. Математика. 1 класс. Пособие для учителя к стабильному учебнику. - М.: Федеральный научно-методический центр им. Л.В. Занкова, 1996 Аргинская И.И. Математика. 3 класс. - М.: Федеральный научно-методический центр им. Л.В. Занкова, 1997 Аргинская И.И. Математика. Методич. пособие к уч.1-го кл. нач. шк. М.: Федеральный научно-методический центр им. Л.В. Занкова, 2000 Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. - М.: "Просвещение", 1984 Волкова С.И. Карточки с математическими заданиями 4 кл. М.: "Просвещение", 1993 Гейдман Б.П., Иванина Т.В., Мишарина И.Э.Математика 3 класс. - М.: Книжный дом "ЧеРо" изд. Московского университета, МЦНМО, 2000 Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. - М.: "Просвещение", 1982. - 144 с.-(Библиотека учителя математики). Грин Р., Лаксон Д. Введение в мир числа. - М.: 1984 Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике. - М.: "Просвещение", 1991 Жиколкина Т.К. Математика. Книга для учителя. 2 кл. - М.: "Дрофа", 2000 Журнал "Начальная школа" 1981-1998 гг. Зайцев В.В. Математика для младших школьников. Методическое пособие для учителей и родителей. -М.: "Владос", 1999 Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. Уч.пособие. - М.: "ACADEMA" Лавриненко Т.А. Как научить детей решать задачи. - Саратов: "Лицей", 2000 Леонтьев А.И. К вопросу о развитии арифметического мышления ребенка. В сб. "Школа 2100" вып.4 Приоритетные направлнеия развития образовательной программы - М.: "Баласс", 2000, с.109 Математическое развитие дошкольников. Реценз. Бабаева Т.И. Уч.-метод. Пособие - С-Петербург: "Детство-Пресс", 2000 Моршнева Л.Г., Альхова З.И. Дидактический материал по математике. - Саратов: "Лицей", 1999 г. Нешков Н.И., Чесноков А.С. Дидактический материал по математике для 4-го кл. - М.: "Просвещение", 1985 Носова Е.А., Непомнящая Р.Л. Логика и математика для дошкольников. - С-П.: "Детство Пресс", 2000 Петерсон Л.Г. Математика 1 класс. Методические рекомендации. - М."БАЛАСС", "С-ИНФО", 2000 Сергеев И.Н., Олехин С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. - М.: "Наука", 1991 Уткина Н.Г. Материалы к урокам математики в 1-3 кл. - М.: "Просвещение", 1984 Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. - М.: "Педагогика", 1988. - 208 с. 1 Ленин В.И. Статистика и социология. - Полн.собр.соч., т.30, с.351 [7] 2 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|